Dados los ideales de dos lados $B$ y $C$ de un anillo $A$ , demuestran que $BC \subseteq B \cap C$

Question

Dados los ideales de dos lados $B$ y $C$ de un anillo $A$ ,

(a) demostrar que $BC \subseteq B \cap C$ .

(b) Si el anillo $A$ es conmutativo y $B + C = A$ , demuestran que $BC = B \cap C$ .

Esto es lo que tengo pero no estoy seguro de que sea correcto.

(a) Ya que $A,B$ son ambos ideales de dos caras, $aba' \in B$ y $aca' \in C$ .

Así que, $BC = aba'(aca') = ab(a'a)ca' = abca' \subseteq B \cap C$ .

(b) $B+C = aba'+aca'=a(b+c)a'$ y me quedé atascado.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Para un ) es correcto hasta ser cuidadoso en el último paso notando como lo muestras tanto en $B$ y $C $

Para b) Se necesita $A$ para tener una unidad, por lo que existe : $c+b=1$ Ahora escoge $d $ en $ B\cap C $ Y multiplicando por la ecuación anterior, ¿qué se concluye?

Answer 2

(a) Mostrar $BC \subseteq B \cap C,$ todo lo que tienes que hacer es mostrar $BC \subseteq B$ .

Así que considere $i \in BC$ . Estamos tratando de mostrar $i \in B$ . Escriba $i=bc$ con $b \in B$ y $c \in C$ . Pero como $b \in B$ y $B$ es un ideal, por lo tanto $bc \in B$ . Así, $i \in B$ según sea necesario.

(b) Supongamos $A \subseteq B+C$ . Entonces podemos encontrar $\beta \in B$ y $\gamma \in C$ satisfactorio: $$1 = \beta+\gamma.$$

Ahora estamos tratando de demostrar que $B \cap C \subseteq BC$ . Por lo tanto, considere $i \in B \cap C$ . Nuestro objetivo es mostrar $i \in BC$ . Está claro que $$\beta i + i\gamma \in BC.$$ Pero

$$\beta i + i\gamma = \beta i + \gamma i = (\beta+\gamma) i = 1i = i$$

Así que $i \in BC$ según sea necesario.