R sea el anillo de funciones continuas de valor real sobre el intervalo cerrado [0, 1] y I un ideal de R.

Question

Dejemos que $R$ sea el anillo de funciones continuas de valor real definidas en el intervalo $[0, 1]$ .

Dejemos que $I$ sea un ideal de $R$ .

Supongamos que $f(x) = \cos{(2πx)}$ y $g(x) = 2x$ ambos pertenecen a $I$ .

En $h(x) = \sin{(πx)}$ pertenecen a $I$ ?

Answer 1

Verifique que $p:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ que envía $x$ a $\frac{1}{(2x)^2+(cos(2\pi x))^2}$ es continua. (Nótese que el denominador nunca es $0$ para cualquier $x$ ) También hay que tener en cuenta que $p=\frac{1}{f^2+g^2}$ . Desde $I$ es un ideal y $f,g\in I$ sabemos que $f^2,g^2\in I$ . Por lo tanto, $f^2+g^2\in I$ . Desde $p=\frac{1}{f^2+g^2}$ es un elemento de su anillo. Así, $(\frac{1}{f^2+g^2})(f^2+g^2)\in I$ . Por lo tanto, $1\in I$ . Por lo tanto, el ideal $I$ es todo el anillo...