Para un ideal principal no nulo $I=(x)$ de un anillo de enteros de un campo numérico algebraico, $|A/I|=| N_{L|\mathbb Q } (x)|$

Question

Dejemos que $L$ sea un campo de extensión de $\mathbb Q$ con $[L:\mathbb Q]=n$ . Sea $A$ sea el anillo de enteros de $L$ es decir, el cierre integral de $\mathbb Z$ en $L$ . Entonces $A$ es un dominio Dedekind. Si $I$ es un ideal no nulo de $A$ Entonces puedo demostrar que $I$ es un programa gratuito $\mathbb Z$ -de rango $n$ y $aA \subseteq I$ para algunos $0 \ne a \mathbb Z$ . Además $A/I$ es finito.

Mi pregunta es : Si $I=(x)$ es un ideal principal no nulo, entonces cómo demostrar que $|A/I|=| N_{L|\mathbb Q } (x)|$ ? donde $N_{L|\mathbb Q}$ denota la función Norma de campo .

Answer 1

Elija una base integral para $O_L$ (que denotará el cierre integral de $\mathbb{Z}$ en la extensión $L$ ), denotando $\{ \alpha_1 , \dots , \alpha_n \}$ . Entonces, ciertamente $\{ x \alpha_1 , \dots , x \alpha_n \}$ es una base integral para el ideal principal $(x)$ . Entonces, por definición del discriminante $$\textrm{disc} ( (x)) = \det ( \sigma_i ( x \alpha_j )_{i,j} )^2$$ Dónde $\sigma_i$ denotan incrustaciones de nuestro $\alpha_j$ en algún cierre algebraico de $L$ . Nótese que por propiedades de los determinantes, $$\det ( \sigma_i ( x \alpha_j )_{i,j} ) = \prod_{i=1}^n \sigma_i (x) \cdot \det ( \sigma_i (\alpha_j)_{i,j} )$$ Pero, por supuesto, el producto de la derecha es precisamente la norma de $x$ . Entonces vemos $$N_{L/\mathbb{Q}} (x)^2 = \frac{\textrm{disc} (O_L) }{\textrm{disc}( (x))}$$ Pero ya se sabe que el cociente de la derecha es precisamente $|O_L /(x) |^2$ por lo que concluimos que $N_{L/\mathbb{Q}} (x) = |O_L / (x)|$ , según se desee.