Para ver que se necesitan hipótesis adicionales, considere el caso en que $C=1$ es un objeto terminal. Entonces, para cualquier mapa $h\colon A\to B$ automáticamente tenemos $g=hf$ . Pero $P$ es un producto $A\times B$ y es fácil encontrar ejemplos de $A$ y $B$ tal que existe un mapa $A\to B$ pero $A\times B\not \cong A$ .
Por otro lado, como se señala en los comentarios, si asumimos que $g' = hf'$ (además de $g = fh$ ), entonces se deduce que $f'$ es un isomorfismo.
Mirando el diagrama de su profesor (pero ignorando el $\text{id}_P$ flecha por ahora), la existencia de la flecha $k$ se deduce de la propiedad universal del pullback, ya que $g\,\text{id}_A = g = hf$ por suposición. Y la propiedad universal del pullback también da $f'k = \text{id}_A$ y $g'k = h$ . Los dos últimos triángulos del diagrama son $f' = \text{id}_Af'$ (que está claro) y $g' = hf'$ (que es exactamente nuestra suposición extra). ¡Así que el diagrama tiene sentido!
Ahora tenemos $f'k = \text{id}_A$ para mostrar $k = f^{-1}$ queda por demostrar $kf' = \text{id}_P$ . Pero esto también se deduce de la propiedad universal del pullback: los mapas $z = \text{id}_P$ y $z = kf'$ ambos hacen los triángulos exteriores $f'z = f'$ y $g'z = g'$ conmutar ( $z = \text{id}_P$ claramente y $z = kf'$ porque hemos comprobado que todo el diagrama conmuta), y la propiedad universal del pullback dice que hay un único flecha $P\to P$ haciendo que estos triángulos conmuten.
Por último, como también se señala en los comentarios, obtenemos el supuesto extra $g' = hf'$ automáticamente si hacemos la suposición más fuerte de que $f$ es mónico. En efecto, tenemos $fg' = gf' = fhf'$ y $f$ monico implica $g' = hf'$ .
