Supongamos que $(f_n)$ es una secuencia de funciones medibles de Borel. Demuestre que tanto $\sup_nf_n$ y $\inf_nf_n$ son medibles por Borel.
Intento:
Supongamos que $(f_n)$ es una secuencia de funciones medibles de Borel. Es decir, $f^{-1}_n((\alpha,\infty])$ es un conjunto de Borel para todo $\alpha\in\overline{\mathbb{R}}$ . (donde $\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,\infty]$ los números reales extendidos)
Entonces $\forall\alpha\in\overline{\mathbb{R}}, \{\sup_nf_n>\alpha\}=\cup_{n=1}^{\infty}\{f_n>\alpha\}=\cup f^{-1}_n((\alpha,\infty])$ .
Del mismo modo, para el infimo, obtengo que $\{\inf_n f_n\geq \alpha\}=\cap_{n=1}^{\infty}\{f_n\geq \alpha\}=\cap_{n=1}^{\infty}f^{-1}_n((\alpha,\infty])$
Si estuviera trabajando en $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ en lugar de $\overline{\mathbb{R}}=[-\infty,\infty]$ En ese caso, podría concluir que ambos son conjuntos de Borel inmediatamente, ya que son uniones e intersecciones de conjuntos abiertos, pero como mis intervalos son semicerrados, no estoy seguro de cómo concluir que estos intervalos son conjuntos de Borel. ¿Puede alguien darme una pista? Gracias.
