covarianza después de la expectativa condicional (proyección)

Question

Supongamos dos variables aleatorias $X$ y $Y$ y su covarianza podría ser $E(XY)$ si simplemente asumimos que sus expectativas son cero.

Ahora, tomamos la expectativa condicional de ambos: $\xi = E(X\mid Z)$ y $\eta = E(Y\mid Z)$ y su covarianza es $E(\xi\eta)$

Me interesa la cantidad $(E(XY))^2 - (E(\xi\eta))^2$

Este tipo no es negativo. Mi pregunta es que, ¿hay un límite superior? ¿Qué tal el caso cuando $X=Y$ ? ¿Qué condiciones de $EX^2$ y $EY^2$ debería ser para obtener un límite superior? Gracias.

Answer 1

Si $Z$ es constante, o más generalmente si $X$ y $Z$ son independientes y $Y$ y $Z$ son independientes, tendrías $\xi = E(X|Z) = E(X) = 0$ y $\eta = E(Y|Z) = E(Y) = 0$ Así que $E(\xi \eta) = 0$ . Entonces la cuestión se reduce a obtener un límite superior de $E(XY)^2$ . Para ello, podría utilizar Cauchy-Schwarz.