La prueba del multiplicador de puntuación/lagrange de Rao es más potente cuando $\theta$ cerca de $\theta_0$ ?

Question

Estaba leyendo la documentación de la prueba del multiplicador de Rao en la wikipedia y me encontré con esto:

La prueba de puntuación de Rao es una prueba estadística de una hipótesis nula simple de que un parámetro de interés $\theta$ es igual a algún valor particular $\theta_0$ . Es la prueba más potente cuando el verdadero valor de $\theta$ está cerca de $\theta_0$ . La principal ventaja de la prueba de puntuación es que no requiere una estimación de la información bajo la hipótesis alternativa ni una máxima verosimilitud sin restricciones. Esto constituye una ventaja potencial en comparación con otras pruebas, como la prueba de Wald y la prueba de razón de verosimilitud generalizada (GLRT). Esto hace que la prueba sea factible cuando la estimación de máxima verosimilitud sin restricciones es un punto límite en el espacio de los parámetros.

En la clase de estadística nos dijeron que la prueba de la razón de verosimilitud es la mejor prueba para evaluar los modelos de regresión logística anidados, ya que utiliza más datos que la prueba de Wald o la de puntuación. Mencionaron que las otras pruebas podrían ser útiles en ciertas situaciones, lo que supongo que se está describiendo aquí.

He mirado a través de gung's muy útil la discusión de la trinidad de pruebas. Por lo que veo, el método de la puntuación es más útil cuando la probabilidad en la que se basan las otras dos pruebas se aproxima a números grandes o al infinito, pero sigo sin entender lo que se dice en la cita anterior. La parte en cursiva de la cita es lo más confuso.

¿Podría alguien desglosar un poco más el lenguaje, hablar de los thetas, el espacio de probabilidades y parámetros, y esbozar en qué tipo de situaciones aplicadas la puntuación de Rao es más potente? Gracias.

Answer 1

Hay muchos malentendidos en tu interpretación de lo que has leído.

La prueba de razón de verosimilitud es la mejor prueba para evaluar los modelos de regresión logística anidados, ya que utiliza más datos que la prueba de Wald o la de puntuación.

La prueba de la razón de verosimilitud no "utiliza más datos" que la otra prueba. Los modelos de regresión logística anidados no son más que un caso especial de situaciones en las que se aplica la TRL. Cualquier hipótesis simple o compuesta es adecuada para su comprobación mediante una LRT. El lema de Neyman Pearson es correcto: Las TRL son uniformemente más potentes.

Por lo que veo, el método de la puntuación es más útil cuando la probabilidad en la que se basan las otras dos pruebas se acerca a números grandes/infinitos,

No entiendo lo que quiere decir aquí. La puntuación prueba (no el puntuación (que podría confundirse con la puntuación de Fisher, un método de estimación de GLMs utilizando su función de puntuación) puede evaluarse cuando otras pruebas fallan. Otras pruebas fallan cuando la máxima verosimilitud sin restricciones conduce a estimaciones de parámetros que se encuentran en el límite del espacio de parámetros, por lo que la información es singular. En el caso de los modelos de regresión logística, se puede estimar una razón de momios infinita, y las pruebas LRT y Wald arrojan estadísticos de prueba de valor infinito, mientras que la prueba de puntuación es de valor finito.

La prueba de puntuación funciona inspeccionando la pendiente de la función de verosimilitud a la hipótesis nula (no es necesario evaluar la información en la alternativa). Si la función de verosimilitud tiene una gran pendiente, hay pruebas de que el valor hipotético nulo está lejos de la estimación de máxima verosimilitud. ¿Ha visto la imagen? Si la función de verosimilitud tiene una pendiente indefinida para un límite a la derecha o a la izquierda, las estadísticas Wald y LR no se pueden evaluar (o más correctamente, son infinitas), pero la estadística de puntuación está disponible.