Problema: Evaluar $$\int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin^3{x}}{x \cdot e^x} dx=\dfrac{A\pi}{B}-\dfrac{\tan^{-1} (C)}{D},$$ Mi intento a través de la diferenciación bajo el signo integral: Utilizando $\sin^3x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}$ podemos reescribir la integral como $$ \frac{3}{4}\int_0^\infty \frac{e^{-x}\sin x}{x}\,dx-\frac{1}{4}\int_0^\infty \frac{e^{-x}\sin 3x}{x}\,dx $$ Ahora, considere $$ I(b)=\int_0^\infty \frac{e^{-x}\sin bx}{x}\,dx\qquad,\qquad\mbox{where}\,\,b>0 $$ Diferenciando con respecto a (b), tenemos $$ \begin{align} I'(b)&=\int_0^\infty e^{-x}\cos bx\,dx\\ \end{align} $$ ¿Podría alguien mostrarme cómo resolver esta Integral Impropia? Intenté resolverla usando la integración por partes dos veces, pero por alguna extraña razón, obtuve el valor como $0$ . $$$$ Por favor, ayúdenme. Muchas gracias de antemano.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Podemos utilizar: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{f(x)}{x\,e^{x}}\,dx = \int_{1}^{+\infty}(\mathcal{L}\,f)(t)\,dt \tag{1}$$ por lo que sólo tenemos que encontrar la transformada de Laplace de $\sin^3(x)$ .
Tarea bastante fácil a través de las fórmulas de triplicación, ya que $\mathcal{L}(\sin x)=\frac{1}{1+t^2}$ implica: $$ \mathcal{L}(\sin^3 x) = \frac{3}{4}\left(\frac{1}{t^2+1}-\frac{1}{t^2+9}\right)=\frac{6}{(1+t^2)(9+t^2)}\tag{2}$$ entonces: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^3 x}{x\,e^{x}}\,dx = \frac{3\pi}{16}-\frac{3}{4}\int_{1}^{+\infty}\frac{dt}{t^2+9}=\color{red}{\frac{3\pi}{16}-\frac{\arctan 3}{4}}.\tag{3}$$
Una pista. Puede escribir, simplemente, para $b \in \mathbb{R}$ , $$ \int_0^{\infty}e^{-x}\cos bx\: dx=\Re\int_0^{\infty}e^{-(1+ib)x} dx=\Re\left. \frac{e^{-(1+ib)x}}{-(1+ib)}\right|_0^{\infty}=\frac{1}{1+b^2}. $$ Alternativamente, integrando por partes dos veces: $$ \begin{align} I(b)=\int_0^{\infty}e^{-x}\cos bx\: dx&=\left.-e^{-x}\cos bx\right|_0^{\infty}-b\int_0^{\infty}e^{-x}\sin bx\: dx\\\\ &=1-b\times\left(\left.-e^{-x}\sin bx\right|_0^{\infty}+b\int_0^{\infty}e^{-x}\cos bx\: dx\right)\\\\ &=1-b^2I(b) \end{align} $$ dando $\displaystyle (1+b^2)I(b)=1$ y $$ I(b)=\frac{1}{1+b^2}. $$
