Cómo probar $\cos{\frac{\pi}{11}}$ es una raíz de

Question

Quiero demostrar que $x=\cos{\frac{\pi}{11}}$ es una solución de la ecuación : $$8x^2-4x+\frac{1}{x}-4=4\sqrt{\frac{1-x}{2}}$$

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenemos que demostrar que para $x=\cos\frac{\pi}{11}$ que tenemos:

$$ 4x(2x^2-1)-(4x^2-1)=4x\sqrt{\frac{1-x}{2}}\tag{1}$$ o: $$ 4\cos\frac{\pi}{11}\cos\frac{2\pi}{11}-\frac{\sin\frac{3\pi}{11}}{\sin\frac{\pi}{11}}=4\cos\frac{\pi}{11}\sin\frac{\pi}{22}\tag{2}$$ que es equivalente a: $$ \sin\frac{4\pi}{11}-\sin\frac{3\pi}{11}=2\sin\frac{2\pi}{11}\sin\frac{\pi}{22}\tag{3}$$ o a: $$ 2\cos\frac{7\pi}{22}\sin\frac{\pi}{22}=2\sin\frac{2\pi}{11}\sin\frac{\pi}{22}\tag{4}$$ que es trivial ya que $\cos\frac{7\pi}{22}=\sin\frac{4\pi}{22}=\sin\frac{2\pi}{11}.$