¿Obtener la ecuación de un plano a partir de un vértice y 2 ángulos?

Question

¿Qué es la más sencillo manera de obtener algebraicamente la ecuación de un Plano (a x + b y + c z \= d), si sólo tienes 1 punto en el plano, y 2 ángulos (horizontal y vertical) que definen la dirección a la que está orientado el Plano?

Si P es un punto 3D, h es el ángulo horizontal, y v es el ángulo vertical:

P = (1, 5, 0)
h = 60°
v = 22°

Esto es lo que estoy haciendo hasta ahora, Puede ser totalmente incorrecto o innecesario (realmente quiero el más corto/rápido manera de obtener el resultado) pero creo que para obtener un Vector Normal debo echar otro punto (Punto C) en la dirección de estos ángulos, y luego restar al Punto P para obtener la dirección a la que está orientado el plano:

C _x \= P _x + cos(h°) - cos(v°)
C _y \= P _y + sin(h°) - cos(v°)
C _z \= P _z + sin(v°)

C = (1.93, 6.61, 0.75)

¿Entonces haría C - P para obtener el Vector Normal?
¿Es eso el Vector Normal? Si tengo eso entonces podría resolver para d.

EDIT: El punto P está en el Plano (y actúa como un punto de apoyo para los ángulos), los ángulos definen hacia dónde está orientado el Plano, con respecto al eje X. Por ejemplo, si ambos ángulos fueran 0, entonces el Plano estaría orientado hacia el eje X positivo, y el Vector Normal iría paralelo al eje X. Los ángulos lo desplazan para que esté orientado en una dirección diferente horizontalmente (guiñada) o verticalmente (cabeceo)

Answer 1

Si entiendo bien tu pregunta, y utilizando tu notación, tienes un vector $\vec v=(v_1,v_2,v_3)^T= (\cos v \cos h, \cos v \sin h, \sin v)$ paralelo al plano, donde $v$ es el ángulo diedro con el $xy$ plano, por lo que también el vector $\vec v'=(-v_2,v_1,0)$ es paralela al plano, ya que es ortogonal a $\vec v$ y a su proyección en el $xy$ plano. Así que la normal al plano es $\vec n= \vec v \times \vec v'$ .

Answer 2

Descubrí lo que estaba haciendo mal: al echar el punto de referencia, estaba calculando mal. La forma correcta de obtener el ecuación de un plano cuando sólo se da un (pivote) punto P que se encuentra en el Plano, y 2 ángulos para desplazar la dirección a la que se enfrenta el Plano:

Dada:
P = (1, 5, 0)
h = 60°
v = 22°

Para encontrar la ecuación de un Plano, necesitamos el Vector Normal (un punto 3D en la dirección a la que está orientado el Plano). Los ángulos h y v son los ángulos que enfrenta el Plano con respecto a los ejes del sistema de coordenadas. Para obtener el Vector Normal, debemos "echar" un punto de referencia ( Punto C ) en la dirección de estos ángulos para que la Línea de P a C es el Vector Normal.
Punto C será exactamente v ° hacia abajo y h ° de lado de Punto P :

C _x \= P _x + cos(h°) - -cos(v°)
C _y \= P _y + sin(h°) - -cos(v°)
C _z \= P _z + sin(v°)
C = (1.93, 6.61, 0.75)

La línea que va del Punto P al punto C es el Vector Normal (N) al Plano:

N = C - P = (0,93, 1,61, 0,75)

Ahora resolvemos para d:

a x + b y + c z \= d
N _x -P _x + N _y -P _y + N _z -P _z \= d
0.93 - 1 + 1.61 - 5 + 0.75 - 0 = 8.98

Así, la ecuación de un Plano que tiene el Punto P (1, 5, 0) que está orientado 22° hacia abajo y 60° hacia la derecha es:

0.93 x + 1.61 y + 0.75 z \= 8.98