Comprender la prueba de, cualquier subconjunto compacto de $\mathbb{R_l}$ debe ser lo más contable posible

Question

Estaba leyendo la prueba wiki del resultado: "cualquier subconjunto compacto de $\mathbb{R_l}$ debe ser como máximo contable" donde $\mathbb{R_l}$ significa $\mathbb{R}$ con topología de límite inferior.

La prueba es así, considera un subconjunto compacto no vacío  $C⊆\mathbb{R_l}$ . Fijar un $x∈C$ Consideremos la siguiente cubierta abierta de  $C$

$\{[x,∞)\} ∪\{(-∞,x-\frac{1}{n}) |n∈\mathbb{N}\}$

Desde  $C$  es compacta, esta cubierta tiene una subcubierta finita, y

por lo que existe un número real  $a(x)$ , tal que el intervalo  $(a(x),x]$  no contiene ningún punto de  $C$ aparte de  $x$ Esto es cierto para todos los  $x∈C$

Ahora elige un número racional,  $q(x)∈(a(x), x]∩\mathbb{Q}$ Dado que los intervalos  $(a(x),x]$ parametrizado por $x∈C$  son disjuntos entre sí, la función  $q:C→\mathbb{Q}$ es inyectiva, por lo que $C$  es como máximo contable.

No entendí la prueba de "por lo tanto existe(que se indica en negrita). Además cómo concluyen la función $q:C→\mathbb{Q}$ es inyectiva y cuya función ¿de qué están hablando? ¡¡No definieron ninguna función!! Si es posible, por favor, explíqueme la prueba de "por lo tanto, existe" O ¿hay alguna prueba sencilla del resultado anterior? ¡Por favor, ayúdenme! "No quiero "saltarme la prueba". :-(

Answer 1

Dejemos que $$U=\{[x,\infty)\} ∪\{(-\infty,x-\frac{1}{n}) |n∈\mathbb{N}\}$$ sea tu tapadera, y deja que $V\subset U$ sea una cubierta finita de $C$ . Entonces sólo hay un número finito de enteros $n$ tal que $V$ contiene $(-\infty,x-1/n)$ Así pues, dejemos que $N$ sea el máximo de tales $n$ . Entonces $C$ está cubierto por $$\{[x,\infty),(-\infty,x-1/N)\}.$$

De ello se deduce que la intersección $$C\cap(x-1/N,x)$$ está vacía. Entonces elegimos $q(x)\in\mathbb{Q}\cap(x-1/N,x)$ . El punto aquí es que para cada $x$ podemos elegir un $N$ como se ha descrito, entonces dejamos que $a(x)=x-1/N$ y elegimos un $q(x)\in(a(x),x)$ . Hacemos esta elección para cada $x\in C$ y esto da una función $q:C\to\mathbb{Q}$ .

Ahora, para demostrar que $q$ es inyectiva. Sea $x,y\in C$ tal que $x\ne y$ y $q(x)=q(y)$ . Entonces $q(x)\in(a(x),x)\cap (a(y),y)$ . Si $y<a(x)$ entonces esta intersección es claramente vacía, por lo que debemos tener $y>a(x)$ pero recuerda $(a(x),x)\cap C=\emptyset$ y $y\in C$ , por lo que en realidad tenemos $y>x$ . Pero por un argumento simétrico también tenemos $x>y$ por lo que, por contradicción, tenemos $q(x)\ne q(y)$ Así que $q$ es inyectiva.