Dados enteros positivos $m,n$ ¿existe una fórmula de forma cerrada para el número de pares $(a,b)$ tal que $1 \leq a \leq m, 1 \leq b \leq n$ y $a(m-a) = b(n-b)$ ? Escribí un programa en R para contarlas para varios valores de $m,n$ y aparentemente no hay un patrón que podamos conjeturar. Por ejemplo, para $n=43$ para los valores de $m \leq 12$ Es decir, es $0$ y para $13, 14, 15, \ldots$ el recuento es $4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, \ldots$ . También para $m=41$ el recuento es de 12, para $43$ es 84 (cuando $m=n$ , tengo una buena forma de contar), $m=47$ El recuento es de 16. Como la ecuación es simétrica, cuando $m \neq n$ podemos adivinar que la cuenta es par.
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stewbasic
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Supongamos que $m>n$ . Dejemos que $D$ sea el conjunto de pares $(s,t)$ de enteros que satisfacen las siguientes condiciones:
- $st=m^2-n^2$
- $|s|,|t|<m+n$ .
- $s\equiv m+n\pmod2$
- $s+t\equiv2m\pmod4$
Entonces el número de estos pares $(a,b)$ es $|D|$ . No se trata de una fórmula cerrada, pero la factorización $m-n$ y $m+n$ y enumerar los factores de $m^2-n^2$ debería ser más rápido que considerar todos los pares $(a,b)$ con $0<a<m$ , $0<b<n$ .
Para ver que $D$ está en biyección con los pares $(a,b)$ , tenga en cuenta que $$ (2a+2b-m-n)(2a-2b-m+n)=4a(a-m)+m^2-4b(b-n)-n^2 $$ por lo que la ecuación dada es equivalente a $$ (2a+2b-m-n)(2a-2b-m+n)=m^2-n^2. $$ La biyección viene dada por $$ s=2a-2b-m+n,\,t=2a+2b-m-n, $$ $$ a=(t+s+2m)/4,\,b=(t-s+2n)/4. $$ Obsérvese que las condiciones de paridad en $(s,t)$ garantizar que $(a,b)$ son números enteros. Las desigualdades en $s,t$ equivalen a $0<a<m$ y $0<b<n$ . En efecto, $|2a-m|<m$ y $|2b-n|<n$ implica $|s|,|t|<m+n$ . A la inversa, supongamos que $|s|,|t|<m+n$ . Obsérvese que tenemos dos simetrías $(s,t)\mapsto(t,s)$ y $(s,t)\mapsto(-s,-t)$ de $D$ que corresponden a $(a,b)\mapsto(a,n-b)$ y $(a,b)\mapsto(m-a,n-b)$ . Por lo tanto, podemos suponer $0\leq|s|\leq t$ . Pero $st=m^2-n^2$ implica $s,t$ tienen el mismo signo, por lo que $0\leq s\leq t$ . Ahora $t<m+n$ y $st=m^2-n^2$ implica $s>m-n$ Así que $$ 0<n/2\leq b<n. $$ Finalmente $a(m-a)=b(n-b)>0$ implica $0<a<m$ .
