¿El mapa de restricción de la gavilla de funciones regulares sobre conjuntos abiertos de la variedad irreducible es siempre inyectivo?

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad irreducible. Entonces cualquier conjunto abierto $U\subset X$ es denso. Así, $U$ es irreducible como espacio topológico. Consideremos $O_X(U)$ gavilla de funciones regulares sobre $U$ .

Si $U'\subset U$ está abierto en $U$ es $O_X(U)\to O_X(U')$ ¿Inyectiva?

Creo que es el caso, si $f\in O_X(U)$ se envía a $0\in O_X(U')$ entonces $f|_{U'}=0$ . Así que $U'\subset V(f)$ y $U=(U-U')\cup V(f)$ . Claramente $V(f)=U$ por $U$ irreducible. Así, $f|_U=0$ .

Esto está relacionado con Extensión de una función regular sobre una variedad normal a partir de una subvariedad de codimensión 2 . En este post, @MooS Answer dice que sabemos $\cap_{ht(p)=1}A_p=A$ implica la inyectividad del mapa de restricción. Sin embargo, este teorema requiere una variedad normal. ¿Una variedad irreducible es siempre normal?

Answer 1

Si $f\in O_X(U)$ en no cero, entonces no es cero en algún afín $V\subset U$ y, por lo tanto, distinto de cero en el anillo local en el punto genérico $\eta$ .

Esto demuestra que la composición $O_X(U) \to O_X(U') \to O_{\eta}$ es inyectiva, y también lo es el primer mapa.