Pregunta sobre una familia de curvas semiestables

Question

Dejemos que $B$ sea una curva (integral pero no necesariamente suave) y sea $\pi: C --> B$ sea una familia de curvas tal que cada fibra es una curva racional con $g$ muchas colas elípticas unidas.

Dejemos que $\omega$ sea la gavilla dualizadora relativa.

Pregunta : ¿Por qué el pushforward $\pi_* \omega$ trivial (como un haz de vectores)?

Answer 1

No creo que esto sea del todo correcto. Esta es la afirmación correcta: dejemos $E_1, ..., E_g$ sean las colas, con mapas $q_i: E_i \longrightarrow B$ . Entonces

$\pi_* \omega_{C/B} = \bigoplus (q_i)_* \omega_{E_i/B}$ .

Por lo tanto, si sus colas no varían con B, este paquete es trivial.

Explicación: $\omega_{C/B}$ puede describirse explícitamente: una sección de $\omega_{C/B}$ es una forma única en cada componente de $C$ con polos simples en los nodos de $C$ para que en cada nodo coincidan los residuos de la forma en los dos componentes.

Ahora, en una curva de género $1$ una forma única con un solo polo simple, no debe tener ningún polo. Así que las secciones de $\omega_{C/B}$ , restringido a la $E_i$ son secciones de $\omega_{E_i/B}$ . Además, las secciones de $\omega_{C/B}$ restringido a los componentes racionales son formas únicas sin polos, y por lo tanto son $0$ . Así que para dar una sección de $\omega_{C/B}$ es simplemente dar una sección de $\omega_{E_i/B}$ en cada $E_i$ . QED.