Demostrar que si una transformación afín $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ es onto, entonces es uno a uno.

Question

Demostrar que si una transformación afín $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ es onto, entonces es uno a uno.

Aquí definimos una transformación afín como $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ s.t. $T(r_1A_1 + ... + r_nA_n) = r_1T(A_1) + ... + r_nT(A_n)$ para $r_1 +...+r_n =1$ y $A_1, ..., A_n \in \mathbb{R}^2$

Normalmente, cuando queremos demostrar que algo es uno a uno, empezamos asumiendo que $T(A) = T(B)$ para $A,B \in \mathbb{R}^2$ y queremos concluir que $A = B$ . Así que si dejamos que $A = a_1A_1 + ... + a_nA_n$ y $B = b_1B_1 + ... + b_nB_n$ tal que $a_1 + ... + a_n =1, b_1 +...+b_n =1$ y $A_1, ..., A_n, B_1, ..., B_n \in \mathbb{R}^2$ . No estoy seguro de cómo concluir que $A=B$ .

Answer 1

Dejemos que $f$ sea una transformación afín. Ahora bien, es bien sabido que $f$ puede escribirse como $T+b$ con $T$ lineal y $b$ un vector. Ahora $x \mapsto x+b$ es una biyección, por lo que $f$ al ser subjetivo implica que $T$ suryectiva: esta última es un endomorfismo lineal y por lo tanto (por el teorema de la dimensión si se quiere) ser un epi implica ser iso. Así pues, $T$ es biyectiva y entonces (componiendo con $x \mapsto x+b$ ) por lo que es $f$ .

Como puede ver, esto funciona en cualquier espacio vectorial de dimensión finita porque no se han hecho suposiciones adicionales.