Una pregunta usando números complejos para hacer trigonometría

Question

Tengo la ecuación $\cos(a)+\cos(a+b)$ y me gustaría aislar el $\cos(a)$ parte. No pude encontrar la manera de hacerlo con trigonometría pero encontré que puedo hacerlo usando números complejos, simplificarlo y tomar la parte real del resultado. Y el proceso se ve así:

$$\cos(a)+\cos(a+b)=e^{ia}+e^{i(a+b)}=e^{ia}+e^{ia}e^{ib}=e^{ia}(1+e^{ib})$$ Toma la parte real, tengo $$\cos(a)(1+\cos(b))=\cos(a)+\cos(a)\cos(b)$$

Esto es un error porque $\cos(a+b)$ obviamente no es igual a $\cos(a)\cos(b)$ . ¿Podría alguien señalar dónde está mal y cómo puedo conseguir $\cos(a)$ ¿se ha hecho bien? Gracias.

Answer 1

Comienza con $$\cos(a) = \dfrac {e^{ia} +e^{-ia}}{2} $$ $$\cos(a+b) = \dfrac{e^{i(a+b)}+e^{-i(a+b)}}{2}$$ y también nota $$\sin(a) = \dfrac {e^{ia} -e^{-ia}}{2i} $$ $$e^{ia} = \cos(a) +i\sin(a) $$

A partir de ellas, podrías hacer el álgebra para obtener una nueva expresión trigonométrica.

Aunque, según recuerdo,

$$\cos(a+b) =\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) $$

así que

$$\cos(a+b) = \cos(a)[\cos(b) -\tan(a)\sin(b)]$$

Answer 2

La respuesta la dio @Clayton: la parte real del producto no es el producto de las partes reales.

Quiero añadir que no se puede sacar un $\cos a$ de la expresión.

Por ejemplo, con $b=\dfrac\pi2$ ,

$$\cos a+\cos\left(a+\frac\pi2\right)=\cos a-\sin a=\cos a(1-\tan a),$$ que probablemente no es lo que quieres.