¿Qué es exactamente un $\delta$ barrio

Question

El conjunto de todos los puntos $x$ tal que $|x-a| < \delta$ se llama $\delta$ vecindad del punto $a$ . El conjunto de todos los puntos $x$ tal que $0<|x-a|<\delta$ en el que $x=a$ se excluye, se denomina "borrado". $\delta$ barrio de $a$ o un radio de bola abierto $\delta$ sobre $a$ .

No entiendo esta definición (y por ello también la definición de punto límite):

• Es $\delta$ ¿sólo un número entero positivo al azar?

• ¿Para qué sirve exactamente un $\delta$ barrio, no veo cómo podría ser significativo en absoluto.

Answer 1

La definición de una función continua $f$ por ejemplo, es que para cualquier $\varepsilon>0$ de su elección hay $\delta$ de manera que si $|x-y|<\delta$ entonces $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ . Lo que significa que para el punto $y$ lo suficientemente cerca de $x$ la función $f$ toma $x$ y $y$ a unos valores cercanos.

En general $\delta$ vecindad significa simplemente todos los valores que la distancia entre ellos y $x$ es menor o igual que $\delta$ . En $\mathbb{R}$ se consigue que $\delta$ barrio de $x$ es $[x-\delta,x+\delta]$ en $\mathbb{R}^2$ se obtiene una bola abierta con un radio de $\delta$ .

Answer 2

$\delta$ suele ser un número real positivo. Dado dicho número y otro número $a$ se puede hablar de un $\delta$ barrio de $a$ . Tal como lo establece su definición, la vecindad es simplemente el conjunto de números que tienen una distancia a $a$ de menos de $\delta$ . Ya que hablamos de distancia, querríamos que el $\delta$ para ser positivo.

Para escribirlo de otra manera, el $\delta$ barrio de $a$ es el conjunto $$ \{x\in \mathbb{R}: \lvert x - a \lvert < \delta\}. $$

Esto también puede escribirse como $$ (a-\delta, a + \delta) $$ (es decir, el intervalo abierto de longitud $2\delta$ centrado en $a$ ).

Así que realmente no es más que un intervalo.

Cuando se habla del barrio "borrado", simplemente se está eliminando $a$ forman el conjunto. Así que el "borrado" $\delta$ barrio de $a$ es simplemente la unión de los dos intervalos: $$ (a-\delta, a)\cup (a, a + \delta). $$

En cuanto a la pregunta sobre para qué sirve esto, surge en muchos sitios. Si, por ejemplo, se mira el definición de lo que es un límite es, te encontrarás con estos barrios. Te sugiero que mires esta definición e intentes estudiarla un poco. Tal vez eso le ayude a tener más claro lo que son estos $\delta$ los barrios son buenos.

Answer 3

Un vistazo a esto artículo debería ser útil.

En resumen, nos interesa una vecindad porque a veces queremos saber cuál es el comportamiento de la función "localmente" alrededor de un punto. En la línea real, una buena forma de precisar este concepto "local" es elegir una secuencia de vecindades que se hacen más pequeñas cada vez, y observar el comportamiento de la función en dichas vecindades.

Por ejemplo, intuitivamente una función es continua si y sólo si para una vecindad suficientemente pequeña alrededor de $x_{0}$ el valor $f$ en el barrio no se desvía de $f(x_{0})$ demasiado. Formalizando esto obtenemos el llamado $\epsilon-\delta$ cálculo, que es bastante útil para formalizar varios conceptos matemáticos como la diferenciabilidad.