La Dimensión de Hausdorff y Hölder Continuidad

Question

Supongamos que tenemos una curva de gamma : [0,1] -> ℝⁿ. Es bien sabido que si esta curva es Hölder continua para algunos exponente α entonces la dimensión de Hausdorff de γ[0,1] es acotada arriba por 1/α.

Mi pregunta es: ¿hay un parcial de conversar de la siguiente forma. Supongamos que la curva de gamma es tal que γ[0,1] tiene la dimensión de Hausdorff d, entonces es cierto que para cualquier α < 1/d tenemos que existe algún reajuste de parámetros de γ para que γ es Hölder continua con exponente α?

Me gustaría que fuera cierto, aunque lo dudo, sin embargo no he sido capaz de encontrar un contraejemplo. Pruebas, referencias, o contraejemplos se agradece.

Answer 1

Editar: La respuesta corta es que no son planas curvas que no pueden ser parametrizadas en un soporte de manera continua. Por lo tanto cualquier curva proporciona un contraejemplo para algunos $d \le 2$.

Mi respuesta original, mostrando que la curva puede ser elegido incluso de dimensión de Hausdorff $d=1$, de la siguiente manera.

Creo que la respuesta a su pregunta es negativa. De hecho, yo creo que se puede construir una curva en $\mathbb{R}^2$ que tiene la dimensión de Hausdorff 1, pero no puede ser parametrizado por un Titular de la curva continua.

La idea básica es que a menor y de menor escala, la curva oscila en lugar salvajemente en la dirección horizontal, que se puede hacer para asegurarse de que la curva no puede ser parametrizado en un soporte continuo. Sin embargo, si nos aseguramos de que la extensión vertical de estas oscilaciones es mucho, mucho más pequeña en cada paso, a continuación, la dimensión de Hausdorff debe todavía ser uno. (Por supuesto, la medida lineal de dicha curva será infinito.)

Permítanme tratar de ser un poco más preciso. Espero que la idea es adecuadamente claras.

Supongamos que construimos la curva de $\gamma_k$ en las sucesivas escalas de $\delta_k = 2^{-k}$. La curva de $\gamma_k$ constará de un número $M_k$ de los segmentos horizontales, cada una de longitud $\delta_k$, junto con algunos segmentos verticales. En la construcción, podemos asegurar que los segmentos verticales han delimitado longitud total, por lo que podemos ignorarlos.

Para obtener el $\gamma_{k+1}$, podemos dividir horizontales de cada segmento en dos segmentos de longitud $\delta_{k+1}$, y, a continuación, reemplazar cada uno de estos segmentos por una curva que oscila, que consta de un cierto número $m_{k+1}$ de los segmentos horizontales de longitud $\delta_{k+1}$. Sin embargo, la extensión vertical de esta oscilación debe ser muy pequeño número $\varepsilon_{k+1}$. (Que en particular nos puede hacer tan pequeño que la longitud total de los segmentos verticales añadido en este paso es más pequeño que, a decir $2^{-k}$, por lo que el total de la longitud de los segmentos verticales queda delimitada en todo momento.)

Ahora el número total de segmentos en la etapa de $k+1$$M_{k+1} = 2m_{k+1} M_k$. Cualquier parametrización de la curva por la unidad de intervalo debe contener dos puntos que están a una distancia en la mayoría de las $1/M_{k+1}$, pero tienen puntos cuyas imágenes están a una distancia de al menos $\delta_{k+1}$. Así que si elegimos $m_{k+1}$ suficientemente grande, podemos asegurar que la curva límite no puede ser Titular-parametrizadas.

Por otro lado, la curva puede ser cubierta por unos

$M_{k+1}\cdot\frac{\delta_{k+1}}{\varepsilon_{k+1}}$

conjuntos de diámetro $\varepsilon_{k+1}$. Si realizamos $\varepsilon_{k+1}$ lo suficientemente pequeño, este número será menor que, por ejemplo $\varepsilon_{k+1}^{-(1+1/k)}$, por lo que la dimensión de Hausdorff de la limitación de la curva será igual a uno.