Propagar la incertidumbre de un parámetro a través de una función

Question

Supongamos que tengo una distribución de probabilidad (de hecho tengo un buen caso en el que esa distribución es gaussiana) sobre el valor de un parámetro. por ejemplo, el parámetro $x$ tiene $\mu = 3$ y $\sigma^2 = 1$ .

Supongamos ahora que el valor de $x$ también se utiliza para determinar la varianza de una nueva distribución (gaussiana) - $\sigma^2_{new} = f(x)$ (en mi caso $f(x)$ es lineal en $x$ por lo que es una función agradable - es algo así como $\sigma^2_{new} = a(1-x)$ donde $a$ es una constante conocida).

Mi pregunta es cómo incorporar la distribución de probabilidad (mi incertidumbre) de $x$ para reflejar con mayor precisión la incertidumbre (en mi caso, la varianza) de la nueva distribución?

Pregunta secundaria a la anterior - ¿Cómo hago lo mismo pero cuando $\sigma^2_{new} = f(x)$ ya no es lineal en $x$ ?

Answer 1

Este es un caso particular de las distribuciones condicionales: si $x\sim P(x)$ y $y|x\sim Q(y|x)$ entonces $$y\sim\int \text{d}P(x) Q(y|x)$$ En su entorno, si $y|x\sim \mathcal{N}(y;\mu_y,\sigma_y^2(x))$ y $x\sim \mathcal{N}(x;\mu_x,\sigma^2_x)$ entonces $$y\sim\int \mathcal{N}(y;\mu_y,\sigma_y^2(x)) \mathcal{N}(x;\mu_x,\sigma^2_x)\text{d}x$$ Como señala AlaskaRon no es posible que $\sigma_y^2(x)=a(1-x)$ cuando $x$ es gaussiano, ya que $(1-x)$ tiene una probabilidad positiva de ser negativa.