Deducir el valor esperado a partir de la probabilidad condicional

Question

Si tienes:

$$\begin{align*} P(x) & = \mathcal N(x\mid\mu_x, \sigma^2_x) \\ P(y\mid x) & = \mathcal N(y\mid ax+b,\sigma^2_y) \end{align*}$$

Quiero calcular $E(Y)$ . Puedo ver intuitivamente que debería ser igual a $a\mu_x + b$

¿Cómo se obtiene eso correctamente?

Esto es lo que he pensado:

$$\begin{align*} E(Y) & = \int yp(y) \ dy\\ p(y) & = \int p(y\mid x) p(x) \ dx \end{align*}$$ ¿Cómo debo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Puede aplicar el ley de la expectativa total (o "regla de la torre"), que dice $E(Y) = E(E(Y\mid X))$

En tu caso, sabes que $E(Y\mid X)= a X +b$ . Por lo tanto, $E(Y)=E(a X+b) = a \mu_x +b$

Answer 2

Aquí hay dos preguntas diferentes:

¿Cómo se obtiene eso correctamente?

Por ejemplo, observando que la definición de distribución condicional dice exactamente que $Y$ se distribuye como $aX+b+\sigma_YZ$ donde $Z$ es normal (e independiente de $X$ ) por lo tanto $E(Y)=aE(X)+b+\sigma_Y E(Z)=a\mu_X+b$ .

Esto es lo que he pensado: $E(Y)=\displaystyle\int yp(y) dy$ (y) $p(y)=\displaystyle∫p(y|x)p(x) dx.$ ¿Cómo debo proceder a partir de aquí?

Por ejemplo, al introducir la segunda identidad en la primera, se obtiene $$E(Y)=\iint yp(y|x)p(x)\mathrm dx\mathrm dy, $$ e insertando los valores de $p(x)$ y $p(y|x)$ en la integral doble del lado derecho. Los cálculos que siguen son aburridos pero se llevan a cabo. Se puede (demostrar y) utilizar como paso intermedio el hecho de que $$ \int yp(y|x)\mathrm dy=ax+b. $$