Integral indefinida de $\cos^2(x)/\sin^6(x)$

Question

No puedo resolver esta integral, ¿alguien puede ayudarme?

$$\int\frac{\cos^2x}{\sin^6x}\mathrm dx$$

He probado con $\frac{\cos2x+1}{2}=\cos^2x$ transformaciones, pero todavía no puede obtener el resultado.

Answer 1

$\displaystyle \dfrac{\cos^2x}{\sin^6 x}=\csc^4 x \cot^2 x= (\cot x+\cot^3 x)^2 \csc^2 x$

Ahora integrando y dejando $\cot x=y$

$I=-\int (y^2+y^6+2y^4)\; dy$

Ahora puedes proceder.

Answer 2

Si quiere evitar absolutamente la trigonometría, aquí tiene
$$\int\frac{\cos^2x}{\sin^6x}dx$$ $$\int\frac{1-\sin^2x}{\sin^6x}dx$$ Ahora dejamos que $u = \sin^2(x) \implies u' = 2\sqrt{u-u^2}$
Esto encoge un poco nuestro intervalo ya que la raíz cuadrada da realmente el valor absoluto, por lo que necesitamos realmente tener lo anterior para $[0+\pi n,\pi/2+\pi n]$ . $$\frac{1}{2}\int\frac{1-u}{u^6\sqrt{u-u^2}}du$$ Ahora puedes multiplicar el denominador, hacer una sustitución para mover la raíz cuadrada a la parte superior y simplificar. Buena suerte.