Factorización de una diferencia de 2 cubos

Question

Estoy tratando de factorizar la expresión $(a - 2)^3 - (a + 1)^3$ y obviamente querría ponerlo en forma de $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Así que empiezo con la primera $(a - b)$ y me sale $(a - 2) - (a + 1)$ que simplifico de $(a^2 + a -2a -2)$ a $(a^2 -3a -2)$

Ahora estoy hasta $(a^2 + ab + b^2)$ y yo $a^2$ sería igual a $(a^2 - 4)$ , $ab$ sería $(a - 2) * (a + 1)$ que es $(a^2 + a -2a -2)$ y $b^2$ sería $(a^2 + 1)$ ..

Entonces obtenemos $(a^2 - 3a - 2)((a^2 - 4) (a^2 + a - 4a)(a^2 + 1)) $

En este punto me confundo porque no estoy seguro de haber hecho algo correcto, y no sé cómo continuar con esto. Cualquier ayuda es muy apreciada

Saludos,

Answer 1

tienes $$(a - 2)^3 - (a + 1)^3=[(a - 2) - (a + 1)][(a - 2)^2+(a - 2)(a + 1) + (a + 1)^2] \\=[-3][a^2-4a +4+a^2 - a -2 + a^2 +2a+ 1] \\=-3(3a^2-3a+3) \\=-9(a^2-a+1)$$

Answer 2

También en el segundo paréntesis $a$ al cuadrado será $(a-2)$ al cuadrado, es decir $(a-2)(a-2) = a^2 -4a + 4$ ,

y del mismo modo el $b$ al cuadrado será $(a+1)$ al cuadrado, es decir $(a+1)(a+1)$ es decir $a^2 + 2a + 1$ .

Creo que tener $a$ en la expresión que quieres factorizar y en la identidad que intentas utilizar te está confundiendo. ¿Por qué no factorizar en su lugar $(x-2)^3 - (x+1)^3$ ?

Entonces en su identidad $a$ es $(x-2)$ y $b$ es $(x+1)$ y se obtiene $( (x-2)-(x+1) )( (x-2)^2 + (x-2)(x+1) + (x+1)^2)$ que finalmente se simplifica a $-3(3x^2 - 3x +3)$ que da $-9(1 - x +x^2)$ .

Luego, vuélvelo a poner en $a$ al final para obtener $-9(1 - a +a^2)$

y como comprobación, intente $a = 0$ :

$(0-2)^3 -(0+1)^3 = -8 - 1 = -9$

$-9(1 - 0 + 0^2) = -9(1) = -9$

Answer 3

El álgebra de fuerza bruta nos da $$ (a-2)^3 - (a+1)^3 = (a^3 -6a^2 + 12a - 8) - (a^3 + 3a^2 + 3a +1) = -9(a^2 - a + 1) $$ Pero $a^2 - a + 1$ no tiene ningún factor (al menos no real).