¿Es cierta la siguiente afirmación para los grupos de reflexión finitos?
Dejemos que $G$ sea un grupo de reflexión finito que actúa sobre $\mathbb{R}^n$ , dejemos que $x, y\in \mathbb{R}^n$ y que $z$ estar en la órbita de $y$ . Si $\langle x,y\rangle = \langle x, z\rangle$ entonces existe $g$ en el estabilizador de $x$ tal que $z = gy$ .
Una adición importante: $x$ y $y$ están en la misma cámara.
Recopilación de mis observaciones:
La respuesta a la pregunta original es no: Tomemos el grupo diédrico $D_3$ actuando en $\mathbb ℝ^2$ . Tienes 6 cámaras. Tome $y$ en el interior de una cámara, y girarla para $z$ entonces $z$ no está en la siguiente cámara, sino en la segunda. Ahora $x\ne 0$ es perpendicular a $z−y$ por lo que se encuentra en el interior de una cámara (la del medio o su negativo), por lo que el estabilizador de $x$ es trivial.
Si $y$ y $z$ yacen en la misma cámara: La cámara cerrada es un dominio fundamental y es el espacio orbital (no hay más identificación en las paredes). Así, $y=z$ ya que están en la misma órbita, por lo que la afirmación es cierta.
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