Encontrar la orientación (en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario) de un arco bien definido

Question

Dado un arco, con dos puntos finales, un radio y un centro conocidos, ¿es posible elegir arbitrariamente un punto final como punto de partida, y determinar si el movimiento de trazado del arco desde ese punto inicial hasta el otro punto final es en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario?

Esa es mi pregunta general, estoy trabajando en la escritura de un programa de geometría, y este programa tomará el radio, el punto final y el punto de inicio de un arco. Luego determinará los dos (o uno/cero en algunos casos) arcos que se ajustan a los dados. Por último, basándose en la opción de las agujas del reloj/las agujas del reloj, dibujará el arco apropiado. He (con un poco de ayuda de otra pregunta aquí) ya derivó la fórmula para encontrar los puntos centrales, y ahora sólo necesito el cálculo de las agujas del reloj frente a las agujas del reloj. A diferencia de la derivación del centro del arco, no tengo ni idea de por dónde empezar. Creo que he mordido más de lo que puedo masticar, ya que me estoy metiendo en temas que aún no he aprendido en la escuela. (Siento que cualquier conocimiento de cálculo haría esto indefinidamente más fácil).

De todos modos, ¡gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Supongamos que se le da el punto de partida $A:(a_1,a_2)$ el punto final $B:(b_1,b_2)$ y el radio $r$ ( $2r$ siendo mayor que la distancia de $A$ a $B$ ). Supongamos que a partir de esos datos ha calculado correctamente los dos centros posibles, a saber $C:(c_1,c_2)$ y $D:(d_1,d_2)$ .

Tienes que tomar los vectores $u=\vec{CA}:(u_1,u_2)$ y $v=\vec{CB}:(v_1,v_2)$ y calcular el siguiente determinante: $$K = \begin{vmatrix}u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2\end{vmatrix}$$ A continuación, compruebe el signo de $K$ :

• Si $K<0$ entonces $C$ es el centro que está buscando.
• Si $K>0$ , estás pasando de $A$ a $B$ en sentido contrario a las agujas del reloj y, por tanto, el centro debe ser D.
• Si $K=0$ entonces $A$ , $B$ y $C$ están en la misma línea. Como suponíamos que la distancia de ambos $A$ y $B$ a $C$ es $r>0$ Hay dos posibilidades: o bien $A=B$ o $dist(A,B)=r$ y $C$ es el punto medio entre $A$ y $B$ .

Answer 2

Mientras el arco no pase por el centro sí, es posible hacerlo con métodos de cálculo. El método consiste en calcular el número de bobinado del arco, que es una cierta integral que puedes calcular. Voy a dar una respuesta muy general, que tal vez sea más general de lo que necesitas, pero es una buena respuesta que se ajustará a muchas necesidades.

Uso de coordenadas cartesianas $\mathbb{R}^2$ digamos que el centro está dado en forma vectorial como $\vec C = (a,b)$ y que el arco se expresa en forma vectorial como $$\vec \gamma(t) = (f(t), g(t)), \quad 0 \le t \le 1 $$ Así, por ejemplo, el punto de partida es $\vec\gamma(t) = (f(0),g(0))$ y el punto final es $\vec\gamma(1) = (f(1),g(1))$ .

Entonces el número de bobinado es $$W(\vec \gamma) = \int_0^1 \, \frac{d}{dt}\bigl(\theta(t)\bigr) \quad dt $$ donde $$\theta(t) = \begin{cases} arctan\bigl((g(t)-b)\,/\,(f(t)-a)\bigr) & \quad\text{for $ f(t) \ne 0 $} \\ arccotan\bigl((f(t)-a)\,/\,(g(t)-b)\bigr) & \quad\text{for $ g(t) \ne 0 $} \end{cases} $$ Obsérvese que el integrando $d/dt(\theta(t))$ es una función continua y bien definida de $t$ , que es donde se utiliza la hipótesis de que $\vec\gamma(t)$ no pasa por $\vec C$ al menos uno de los denominadores $f(t)-a$ o $g(t)-b$ es distinto de cero, para cada $t \in [0,1]$ .

Veamos ahora algunas conclusiones que se pueden extraer de esto.

Si el integrante $d/dt(\theta(t))$ es positivo, entonces es justo decir que la curva está en sentido contrario a las agujas del reloj en cada punto, mientras que si el integrando es negativo, entonces la curva está en el sentido de las agujas del reloj en cada punto.

Por otro lado, es posible que el integrando sea positivo en algunos puntos y negativo en otros, en cuyo caso quizás no estarías dispuesto a comprometerte a distinguir entre el sentido de las agujas del reloj y el contrario. Por otro lado, si estuviera dispuesto a hablar de la "orientación general" u "orientación neta" de la curva, entonces podría decir que la curva es "neta en sentido contrario a las agujas del reloj" si $W(\vec\gamma)$ es positivo, o que es "neto en el sentido de las agujas del reloj" si $W(\vec\gamma)$ es negativo.

Una de las características realmente interesantes del número de bobinado es que si $\vec\gamma$ es una curva cerrada, lo que significa que $\vec \gamma(0)=\vec\gamma(1)$ (es decir, comienza y termina en el mismo punto), entonces el número de enrollamiento es un múltiplo entero de $2\pi$ .