Elige un número al azar (distribuido uniformemente) entre $0$ y $1$ . Continúe escogiendo números aleatorios mientras sigan disminuyendo; deje de elegir cuando obtenga un número que sea mayor que el anterior. ¿Cuál es el número esperado de número de números que eliges?
Respuestas
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Oli
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Las siguientes soluciones utilizan indicador variables aleatorias.
Fijar un $n$ e imagina que haces el experimento sólo $n$ tiempos. Para $i\le n$ , dejemos que $X_j=1$ si $X_1\gt X_2 \gt \cdots >X_j$ y que $X_j=0$ de lo contrario. Entonces $\Pr(X_j=1)=\frac{1}{j!}$ y por lo tanto $E(X_j)=\frac{1}{j!}$ .
Si $Y_n$ es la longitud de la secuencia decreciente monótona más larga que comienza con el primer número elegido el principio, entonces $Y_n=X_1 +X_2+\cdots +X_n$ . Así, por la linealidad de la expectativa, $$E(Y_n)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+\cdots+E(X_n)= 1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}.$$ Como $n\to \infty$ Esto se acerca a $e-1$ .
Pero su variable aleatoria cuenta todas las selecciones hasta y incluyendo el primer pico que rompe la monotonicidad. Así que su variable aleatoria tiene la expectativa $(e-1)+1=e$ .
Usuario no registrado
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Hay $n!$ formas de organizar $n$ números, suponiendo que hay $n$ elige, entonces la primera $(n-1)$ Las selecciones están en orden descendente, hay $(n-1)$ formas de elegir la primera $(n-1)$ números y, por tanto, la probabilidad de elegir sólo $n$ nimbers es $\cfrac {n-1}{n!}$ y el valor esperado es $$E=\sum^{\infty}_{n=2} n\cdot\cfrac {n-1}{n!}= \sum^{\infty}_{n=2} \cfrac {1}{(n-2)!}=\sum^{\infty}_{n=0} \cfrac {1}{n!}=e=2.718281828459...$$
