¿Qué es? $P(X=x)$ cuando $X\sim \text{Unif}(a,b)$ ?

Question

Estoy tratando de resolver esta excursión Un palo de longitud 1 se rompe en un lugar aleatorio que es U(0, 1). Sea X la longitud del trozo más largo e Y la longitud del trozo más corto. de otra manera. La pregunta:

Un palo de longitud 1 se rompe en un lugar al azar que es $\text{Unif}(0,1)$ . Dejemos que $X$ sea el punto elegido en el filete y $Y$ sea la longitud de la pieza más larga. Encuentra $E(Y)$ .

Así que tenemos: $$ Y=\begin{cases} 1-X & X<0.5\\ X & X\geq0.5 \end{cases} $$ Entonces podemos decir: $$ \begin{align*} E\left(Y\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}y\cdot P\left(Y=y\right)dy\\&=\int_{0}^{1}y\cdot P\left(Y=y\right)dy=\int_{0}^{0.5}y\cdot P\left(Y=y\right)dy+\int_{0.5}^{1}y\cdot P\left(Y=y\right)dy\\&=\int_{0}^{0.5}y\cdot P\left(Y=y\right)dy+\int_{0.5}^{1}y\cdot P\left(Y=y\right)dy\\&=\int_{0}^{0.5}(1-x)\cdot P\left(X=x\right)dx+\int_{0.5}^{1}x\cdot P\left(X=x\right)dx\\&=\int_{0}^{0.5}(1-x)\cdot P\left(X=x\right)dx+\int_{0.5}^{1}x\cdot P\left(X=x\right)dx \end{align*} $$ Quiero decir $P(X=x)=1$ cuando $x\in[0,1]$ . Pero, ¿es cierto que $P(X=x)=\frac{1}{b-a}$ cuando $x\in[a,b]$ ?

Answer 1

Podemos reescribir esto en términos de $f_X(x)=1:$ \begin {align*} \mathbb E(Y)&= \int_ {- \infty }^ \infty y \cdot f_X(x)dx= \int_0 ^{0,5}(1-x)(1)dx+ \int_ {0,5}^1x(1)dx \\ &= 0.75 \end {align*} No hay que deducir el pdf de $Y$ para obtener su expectativa, ya que $Y$ es una función de $X$ .

Answer 2

Vea la otra respuesta para un método directo para obtener la expectativa. Ya que has preguntado cómo calcular la función del factor de potencia de y, aquí tienes una forma, aunque no muy intuitiva.

$$\begin{split}Y=\begin{cases}1-X&X<.5\\X&X\ge.5\end{cases}\end{split}$$

Para X<.5, se puede escribir

$$\begin{split}Y&=|1-X-\frac 1 2|+\frac 1 2\\ &=|\frac 1 2 -X|+\frac 1 2\\ &=\left|\frac{1-2X}{2}\right|+\frac 1 2\\ &=\frac{|1-2X|+1}{2}\end{split}$$

y para X>.5 se puede escribir

$$\begin{split}Y&=|X-\frac 1 2|+\frac 1 2\\ &=\left|\frac{2X-1}{2}\right|+\frac 1 2\\ &=\frac{|2X-1|+1}{2}\end{split}$$

Así, $$Y=\frac{|2X-1|+1}{2}\text{ for }0\le X\le1$$

y puede tomar los valores $1 \ge Y\ge \frac 1 2$ . El límite superior se alcanza con X=0 o 1, y el inferior con X=1/2.

$$F_Y(y)=P(Y\le y)\\...\\f_Y(y)=...$$