Necesito ayuda con esta pregunta:
Se lanza un conjunto de n dados. Todos los que caen en seis se apartan y se vuelven a lanzar los demás. Esto se repite hasta que todos los dados hayan caído en seis. Sea N el número de lanzamientos necesarios. Sea $m_{n} = E[N]$ .
Dejemos que $X_{i}$ denotan el número de dados lanzados en la i-ésima tirada. Encontrar $E[\sum_ {i=1}^{N} X_{i}]$ .
Esta es una solución que me han proporcionado pero no entiendo el razonamiento que hay detrás:
$E[X_{i}] = E[E[X_{i}|X_{i-1}]] = E[X_{i-1} - (X_{i-1}*(1/6))] = (5/6)*E[X_{i-1}] = n(5/6)^{i-1}$
Entonces, $E[\sum_ {i=1}^{N} X_{i}] = \sum_ {k=1}^{n} ([1-(5/6)^{k}]/(1/6))(k)P(N=k)]$ .
Dónde, $P(N=1)=(5/6)^{n}$ y $P(N=2) = \sum_ {X=0}^{n-1} \binom {n}{x} (1/6)^{n} (25/36)^{n-x} = (31/36)^{n} - (1/6)^{n}$ .
¿Podría alguien explicarme esto? Agradezco cualquier ayuda. Gracias
