Cómo encontrar la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n}}{(4n!)}$

Question

Se sabe que, $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=\cos(x)$$ y $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}=\cosh(x)$$

De esto se deduce que $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(4n)!}=\frac{\cos(x)+\cosh(x)}{2}$$

Cómo encontrar $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n}}{(4n)!}$$

Answer 1

Para ampliar un poco el punto de @Angina Seng, esencialmente lo que hay que notar es que si podemos encontrar la raíz cuarta de ${-1}$ y reemplazar $x$ con $x$ multiplicado por esta cuarta raíz se obtiene

$${\frac{((-1)^{\frac{1}{4}}x)^{4n}}{(4n)!}=\frac{((-1)^{\frac{1}{4}})^{4n}x^{4n}}{(4n)!}=\frac{(-1)^nx^{4n}}{(4n)!}}$$

En realidad hay cuatro raíces cuartas diferentes de ${-1}$ :

$${e^{\frac{i\pi}{4}},e^{\frac{-i\pi}{4}},e^{\frac{3i\pi}{4}},e^{\frac{-3i\pi}{4}}}$$

Así que cualquiera de estos será suficiente. Si tomamos la raíz principal ( ${e^{\frac{i\pi}{4}}}$ ) sin embargo, esto haría que su respuesta

$${\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n}}{(4n)!}=\frac{\cos\left(e^{\frac{i\pi}{4}}x\right)+\cosh\left(e^{\frac{i\pi}{4}}x\right)}{2}}$$

Tal y como han dicho otros. Pero no tenemos que elegir esa raíz,

$${\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n}}{(4n)!}=\frac{\cos\left(e^{\frac{3i\pi}{4}}x\right)+\cosh\left(e^{\frac{3i\pi}{4}}x\right)}{2}}$$

también es igual de válido

Editar : No voy a escribir el trabajo completo (lo dejaré como un ejercicio para ti) - pero en realidad podemos simplificar aún más el resultado a

$${\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n}}{(4n)!}=\cos\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\cosh\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}$$

Answer 2

Para $0\le j\le 3$ definir $S_j(z):=\sum_{n\ge0}\frac{z^{4n+j}}{(4n+j)!}$ por lo que, para $0\le k\le3$ , $$\sum_ji^{jk}S_j=\sum_{jn}\frac{(zi^k)^{4n+j}}{(4n+j)!}=e^{i^kz}.$$ En otras palabras, $$\begin{align}S_0+S_1+S_2+S_3&=e^z,\\S_0+iS_1-S_2-iS_3&=e^{iz},\\S_0-S_1+S_2-S_3&=e^{-z},\\S_0-iS_1-S_2+iS_3&=e^{-iz}.\end{align}$$ Al resolver las ecuaciones simultáneas se obtiene cada $S_j(z)$ ; quieres $S_0(e^{\pi i/4}x)$ . En particular $S_0+S_2=\cosh z,\,S_0-S_2=i\sin z$ así que $S_0=\tfrac12(\cosh z+i\sin z)$ , haciendo que su serie $\tfrac12(\cosh\tfrac{1+i}{\sqrt{2}}x+i\sin\tfrac{1+i}{\sqrt{2}}x)$ que puedes reescribir a tu gusto.

Answer 3

Utilice $(-1)^{\frac{1}{4}}$ para poder utilizar la serie, por lo que se obtiene $$\frac{\cos (\frac{(1+i)x}{\sqrt 2})+\cosh (\frac{(1+i)x}{\sqrt 2})}{2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{4n}}{(4n)!} $$ A continuación, utilice $$ \cos(a+ib)=\cos a\cosh b-i\sin a\sinh b $$ y $$ \cosh(a+ib)=\cos b\cosh a+i\sin b\sinh a. $$ En nuestro caso $a=b$ así que $\cos(a+ia)+\cosh(a+ib)=2\cos a\cosh a$ . Establecer $a=\frac{x}{\sqrt 2}$ y obtenemos la solución $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{4n}}{(4n)!}=\cos \frac{x}{\sqrt 2}\cosh \frac{x}{\sqrt 2}. $$