Sea $(X,Y)$ una variable aleatoria Gaussiana de 2 dimensiones.
(a) Demuestra que existen constantes $a$ y $b$ tales que \begin{align*} E[Y\,|\,X]=aX+b \end{align*}
(b) Demuestra que la varianza condicional definida como \begin{align*} \text{Var}(Y\,|\,X)=E\big((Y-E[Y\,|\,X])^2\,|\,X\big) \end{align*} es igual a una constante casi seguramente.
He resuelto la parte (a) de la siguiente manera:
Observa que $(X,Y)$ Gaussiana $\implies$ que $(Y-aX, X)$ es Gaussiana para cualquier $a$, ya que para cualquier $\alpha, \beta\in\mathbb{R}$ tenemos \begin{align*} \alpha(Y-aX)+\beta X=(-\alpha a +\beta)X+\alpha Y\,\,\text{es una variable aleatoria normal unidimensional por definición.} \end{align*} Ahora, elegimos $a$ de tal manera que $Y-aX$ y $X$ sean independientes, para ello debemos tener que \begin{align*} 0&=\text{Cov}(Y-aX, X)\\ &=\text{Cov}(Y, X)-a\text{Cov}(X, X)\\ &=\text{Cov}(Y, X)-a\sigma_X^2\\ &\iff a=\frac{\text{Cov}(Y, X)}{\sigma_X^2} \end{align*} Así, con esta elección de $a$, $Y-aX$ y $X$ son independientes. Por lo tanto, tenemos que \begin{align*} E(Y-aX\,|\,X)=E(Y-aX)=EY-aEX:=b \end{align*} Pero por otro lado, \begin{align*} E(Y-aX\,|\,X)=E(Y\,|\,X)-aE(X\,|\,X)=E(Y\,|\,X)-aX \end{align*} Y así, $b=E(Y\,|\,X)-aX\implies E(Y\,|\,X)=aX+b$, como queríamos demostrar.
Sin embargo, estoy teniendo problemas para demostrar la parte $(b)$, pensé que podría tener algo que ver con descomponer $Y$ en piezas independientes como $Y=(Y-aX)+aX$ pero no he tenido suerte con eso, cualquier ayuda aquí sería muy apreciada.
