Resuelve la ecuación: $x-a^2x-\frac{b^2}{b^2-x^2}+a=\frac{x^2}{x^2-b^2}$

Question

Esta es la ecuación:

$$x-a^2x-\frac{b^2}{b^2-x^2}+a=\frac{x^2}{x^2-b^2}$$

La ecuación parece muy sencilla. Pero, es un poco engañosa (para mí).

$$x-a^2x-\frac{b^2}{b^2-x^2}+a=\frac{x^2}{x^2-b^2}\Longrightarrow x(x^2-b^2)-a^2x(x^2-b^2)+b^2+a(x^2-b^2)-x^2=0\Longrightarrow (x^2-b^2)(x-a^2x+a-1)=0$$

Tenemos $x(1-a^2)=1-a$ y $x≠±b$ .

1) $a=1$ , $x\in (-\infty;b) ∪(-b;b)∪(b;\infty)$

2) $a=-1$ entonces $x\in\emptyset$

3) $a≠±1$ y $b≠±\frac{1}{a+1}$ entonces $x=\frac{1}{a+1}$

Lo que quiero saber, ¿hay algún error en la solución, o hay algún otro punto que se me haya escapado?

Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\frac{b^2}{b^2-x^2}=-\frac{b^2}{x^2-b^2},$$

por lo que la ecuación se convierte en

$$x-a^2x+\frac{b^2}{x^2-b^2}+a=\frac{x^2}{x^2-b^2}$$

Pasando por $\frac{b^2}{x^2-b^2}$ a la RHS se obtiene

$$x-a^2x+a=1.$$

Esta ecuación se convierte en $x(1-a^2)+a-1=0$ .

El LHS se convierte en, $x(1-a)(1+a)-(1-a)=(1-a)\Big(x(1+a)-1\Big).$

Por lo tanto, si $a=1$ , usted tiene $x\in(-\infty,-b)\cup(-b,b)\cup(b,+\infty)$ .

Si $a=-1$ la ecuación no tiene soluciones (se convierte en 2=0).

Si $a\neq-1$ y $a\neq1$ entonces $x=\frac{1}{1+a}.$

Ahora, en esas soluciones, tenemos que excluir cuando $x=b$ o $x=-b$ . Si $a=1$ ya lo hemos hecho, así que sólo tenemos que actualizarlo cuando $a\neq1$ . En esos casos, $x=\frac{1}{1+a}$ Así que si $\frac{1}{1+a}=\pm b$ la ecuación no tiene soluciones.

En resumen,

Si $a=-1$ la ecuación no tiene soluciones.

Si $a=1$ , $x\in(-\infty,-b)\cup(-b,b)\cup(b,+\infty)$ .

Si $a\neq1$ y $\frac{1}{1+a}=\pm b$ la ecuación no tiene soluciones.

Por lo demás, $x=\frac{1}{1+a}$ .

Answer 2

Tu solución es casi correcta, excepto que 2) no es una solución porque eso produce $0=2$ en su ecuación.

He aquí un método más sencillo. Añadiendo $\frac{b^2}{b^2-x^2}$ a ambos lados, obsérvese que la RHS se convierte ahora en $1$ . Así que ahora tenemos que resolver $x(1-a^2)=1-a$ que se factoriza en $(1-a)(x(a+1)-1)=0$ (donde $x \neq \pm b$ ).