Composición de transformación lineal con polinomio

Question

Intenté buscar en la web sobre esto y me encontré con una pregunta en StackExchange que nadie respondió.

Así que mi pregunta es, si tengo una transformación lineal $T:R_3[x]\rightarrow R_3[x]$ donde T se define así: $$T(p(x)) = p(x+1) - xp'(x)$$ Donde p'(x) es la derivada del polinomio, qué asigno si pongo cualquier polinomio en $T$ en el lado derecho?

Es decir, si necesito resolver para $T(1)$ o $T(x)$ ¿dónde asigno 1 o x en la transformación?

Pensé que sólo reemplazar el $x$ en el $p$ (por ejemplo: $T(1) = p(1+1)-xp'(1)=2$ (Por cierto, no sé por qué tengo que dejar el $x$ fuera del $p$ solo)

Lo que realmente me confundió es que (y esta es la respuesta del examen que hice): $$T(1) = 1$$ $$T(x) = (x+1) - x(1) = 1$$ $$T(x^2) = (x+1)^2 - x(2x) = -x^2+2x+1$$

¿Cómo llegaron a $T(1) = 1$ ? ¿Qué asignaron a la transformación?

¿Cómo llegaron a $T(x) = 1$ ? ¿Cómo es que aquí $(x+1)$ ¿se queda solo?

¿Cómo llegaron a $T(x^2) = -x^2+2x+1$ ? ¿Cómo es que $(x+1)$ es al cuadrado?

He buscado por todo internet con diferentes textos pero no he llegado a nada que se acerque a la respuesta a mi pregunta..

Gracias de antemano.

Answer 1

$T(1)$ significa que usted toma $p(x)=1$ Así que $$T(1)=1+0=1$$ y así sucesivamente...