$f^{(133)}(0)$ donde $f(x)=x^3\sin(x)$

Question

Estoy resolviendo la tarea $f^{(133)}(0)$ donde $f(x)=x^3\sin(4x)$ .

Y por el teorema de Leibniz, es la única componente, donde $(x^3)^{(i)}$ es distinto de cero ya que $x=0$ es $\binom{133}{3}\cdot6\cdot\sin(4x)\cdot4^{130}$

Así que la respuesta es $0$ . ¿Estoy aquí?

Answer 1

Tenga en cuenta que $x^3$ y $\sin(4x)$ son impar funciones, por lo que su producto es una función par.

Es fácil demostrar que la derivada de una función par es una función impar, y la derivada de una función impar es una función par. Por tanto, la $133$ -La derivada de una función par es una función impar.

Cualquier función impar evaluada en $0$ es $0$ .

Observación: La función $f(x)$ es una función impar si $f(-x)=-f(x)$ para todos $x$ . La unción $f(x)$ es una función par si $f(-x)=f(x)$ para todos $x$ .

Answer 2

Sería más ordenado si tomas la serie de potencias de sin(x). Como $$\sin(x)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$ Así que tenemos $$x^3 \sin(x)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+4}}{(2k+1)!}$$ Como el derivado 133 en $0$ es el coeficiente de $x^{133}$ veces $133!$ es $0$ .