Hallar la distancia máxima/mínima de una elipse a una recta (Método del multiplicador de Lagrange)

Question

Se especifica una elipse $ x^2 + 4y^2 = 4$ y se especifica una línea $x + y = 4$ . Necesito encontrar las distancias máximas y mínimas de la elipse a la línea.

Mi idea es encontrar dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2,y_2)$ tal que el primer punto está en la elipse y el segundo en la recta. Además, el segmento de recta formado por estos dos puntos debe ser perpendicular a la recta (pendiente = 1). Esto da lugar a 3 restricciones $g_i$ y un objetivo $f$ .

$$ g_1: x_1 ^2 + 4y_1 ^2 - 4 = 0$$ $$ g_2: x_2 + y_2 - 4= 0 $$ $$ g_3:\frac{(y_2 - y_1)}{(x_2 - x_1)} - 1 = 0 $$ $$ f: (y_2 - y_1)^2 + (x_2- x_1)^2 $$

Entonces calculo $\nabla g_i$ y $\nabla f$ :

$$ \nabla g_1 = (2x_1, 8y_1, 0, 0) $$ $$ \nabla g_2 = (0, 0, 1, 1)$$ $$ \nabla g_3 = ( (y_2 - y_1)(x_2 - x_1)^{-2}, -(x_2 - x_1)^{-1}, -(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)^{-2}, (x_2 - x_1)^{-1} )$$ $$ \nabla f = (-2(x_2-x_1), -2(y_2-y_1), 2(x_2-x_1), 2(y_2 - y_1))$$

En este punto trato de resolver $\nabla f = \sum\lambda_i\nabla g_i$ que, junto con las restricciones, me da 7 ecuaciones con 7 variables. No estoy seguro de cómo resolver este sistema.

$$\lambda_1 2 x_1 + \lambda_3(y_2-y_1)(x_2-x_1)^{-2} = -2(x_2-x_1)$$ $$\lambda_1 8 y_1 - \lambda_3 (x_2 - x_1)^{-1} = -2 (y_2 - y_1)$$ $$\lambda_2 - \lambda_3 (y_2 - y_1)(x_2 - x_1)^{-2} = 2(x_2 - x1)$$ $$\lambda_2 + \lambda_3 (x_2 - x_1)^{-1} = 2(y_2 -y_1)$$

¿Existe una manera fácil de ver las soluciones de este sistema en $x_1, y_1, x_2, y_2$ ? Si no es así, ¿existe una formulación más sencilla de este problema de optimización?

Answer 1

La elipse es

$$x^2+4y^2=4\iff \frac{x^2}{2^2}+y^2=1$$

y la línea es $\,y=-x+4\,$ que entonces está "por encima" de la elipse todo el tiempo y, en particular, en el primer cuadrante (dibuje un esquema aproximado de las funciones para ver por qué es esto relevante).

Así, podemos escribir un punto de la elipse en el primer cuadrante como

$$\left(x\,,\,\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\right)\;,\;\;x\ge 0$$

por lo que utilizando la fórmula de la distancia entre un punto como el anterior y la línea $\,x+y-4=0\,$ obtenemos

$$\frac{\left|\;x+\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}-4\;\right|}{\sqrt2}=\frac{\left|\;2x+\sqrt{4-x^2}-8\;\right|}{2\sqrt2}$$

Pero como la expresión con el valor absoluto es siempre negativo (en $\,0\le x\le 2\,$ (es decir)(¿por qué?) , debemos obtener el mínimo de:

$$f(x)=\frac{-2x-\sqrt{4-x^2}+8}{2\sqrt 2}\implies f'(x)=\frac{-2+\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}}{2\sqrt 2}=0\iff$$

$$-2\sqrt{4-x^2}+x=0\iff x^2=16-4x^2\iff x=\frac{4}{\sqrt 5}$$

Comprueba que lo anterior es efectivamente un punto mínimo y entra en la ecuación resp.

Por supuesto, la distancia máxima es...

Answer 2

mucho más fácil. si tu línea y la elipse se cruzan, la distancia mínima es cero. si no, ocurre en un segmento de línea que es ortogonal tanto a tu línea como a la elipse. lo cual no es difícil de encontrar. debería haber dos segmentos de línea de este tipo, uno da el mínimo real, otro da un máximo local... ¡dibuja algunos gráficos! además, no hay máximo, hay puntos en la línea arbitrariamente lejos de tu elipse.

Answer 3

Podemos resolver sin utilizar el método del multiplicador de Lagrange

Tenemos $$\frac{x^2}4+\frac{y^2}1=1$$

Por lo tanto, cualquier punto $(P)$ en la elipse puede representarse como $(2\cos t,\sin t)$

Entonces, la distancia de la línea : $x+y-4=0$ de $P(2\cos t,\sin t)$

es $$\frac{|2\cos t+\sin t-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\left|\sqrt5\cos\left(t-\arccos \frac2{\sqrt5}\right)-4\right|}{\sqrt2}$$ poniendo $2=r\cos A,1=r\sin A$ donde $r>0$

Elevando al cuadrado y sumando obtenemos $R^2=5\implies r=\sqrt 5, A=\arccos \frac2r=\arccos \frac2{\sqrt5}$

Como $-1\le \cos\left(t-\arccos \frac2{\sqrt5}\right)\le1, $

claramente, esto será máximo si $\cos\left(t-\arccos \frac2{\sqrt5}\right)=-1$ y mínimo si $\cos\left(t-\arccos \frac2{\sqrt5}\right)=1$