Teorema del valor medio en un intervalo no compacto como límite de intervalos compactos

Question

Considere una función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ de manera que sea continua.

Para cualquier $t \in \mathbb{R}$ , dejemos que $$I(t) := \frac{\int_{-t}^{t}(f(s))^2ds}{t}$$ y que $$I_0 := \lim_{t \to \infty} \frac{\int_{-t}^{t}(f(s))^2ds}{t}$$

Del teorema del valor medio de las integrales, $I(t) = 2(f(c))^2$ para algunos $c \in (-t,t)$ . Desde $I_0 = \lim_{t \to \infty}I(t)$ puedo decir $I_0 = 2(f(c_0))^2$ para algunos $c_0 \in \mathbb{R}$ ? Estoy confundido en el paso de la aplicación del límite, ya que el teorema del valor medio requiere un intervalo compacto, así que ¿podemos simplemente extender esta afirmación a todo el $\mathbb{R}$ ?

Answer 1

Toma $f(s) = s.$ Entonces $$ I(t) = \frac{1}{t}\int_{-t}^t f(s)^2 \,ds = \frac{1}{t}\int_{-t}^t s^2 \, ds = \frac{1}{t} \left[\frac{s^3}{3}\right]_{s=-t}^t= \frac{2}{3}t^2. $$ Así que para cualquier fijo $t,$ podemos poner $$c = \frac{t}{\sqrt{3}} \in (-t,t)$$ que satisface $$ 2f(c)^2 = 2c^2 = \frac{2}{3}t^2 = I(t). $$ Pero $$ I_0 = \lim_{t\to \infty} I(t) = \lim_{t\to \infty} \frac{2}{3}t^2 = +\infty, $$ por lo que no existe $c_0\in \mathbb{R}$ tal que $$ 2f(c_0)^2 = I_0. $$