Integración de contornos en una Suma $\frac{1}{(2i)^n} \sum\limits_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{(n-2k)ix}}{x} dx$

Question

La siguiente pregunta proviene del Una integral de seno post, en el que el usuario26872 demostró lo siguiente: $$\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{\sin x}{x}\right)^n dx=\frac{1}{(2i)^n}\sum_{k=0}^n(-1)^k \binom{n}{k}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{(n-2k)ix}}{x^n}dx$$$$=\frac{1}{(2i)^n}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor}(-1)^k \binom{n}{k}\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{(n-2k)ix}}{x^n}dx$$

Esto lleva entonces a utilizar la fórmula de diferenciación de Cauchy para obtener: $$\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{\sin x}{x}\right)^n dx=\frac{\pi}{(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k \binom{n}{k}\left(\frac{n}{2}-k\right)^{n-1}$$

que da el valor exacto de la integral para cualquier valor entero positivo de n. Yo pude demostrarlo con una larga y engorrosa derivación utilizando la transformada de Laplace, pero este usuario utilizó la integración de contornos. Sin embargo, no especificó cómo se definió el contorno. Creo que es un diámetro de -R a R en el eje real y luego un semicírculo en el semiplano inferior de vuelta a -R, en el límite como $R\rightarrow\infty$ ya que es fácil demostrar que la integral sobre el arco tiende a 0, con lo que la integral sobre el contorno es igual a la integral sobre el eje real.

Soy bastante nuevo en la integración de contornos y en el análisis complejo, por lo que no he podido entender por qué, utilizando esta técnica, el límite superior de la suma cambia de n a $\lfloor n/2 \rfloor$ . El usuario especificó una condición que si $n-2k\geq0$ (lo que significa que el valor máximo de k sería $\lfloor n/2 \rfloor$ ), cerrarían el contorno en el semiplano superior. Pero, ¿por qué?

Gracias.

Answer 1

Estos son los pasos para resolver la integral impropia $$\int_\mathbb R \frac{e^{i ax}}{(x-i \epsilon)^{n}} dx, \tag{$\ast$}$$ donde $a = n-2k$ .

Consideramos el dominio de integración $\mathbb R$ como un subconjunto de $\mathbb C$ extendiendo también el integrando a todos los complejos $z$ . Sólo tienes que sustituir $z$ para $x$ en $(*)$ . Por ahora, movemos la singularidad en $z=0$ en el integrando "una muesca" en el plano complejo para $z = i\epsilon$ para que no haya problemas de convergencia.

Dado que la integración original va de $x=-\infty$ a $x=\infty$ En el plano complejo, esto corresponde a una integral de línea sobre toda la línea real. Aproximamos esta integral como una integral de línea sobre la recta real a partir de algún $-R$ a $R$ recordando que al final del cálculo hay que enviar $R \to \infty$ .

Sin embargo, antes de tomar este límite, suponiendo $a \geq 0$ podemos "cerrar" el contorno en el semiplano superior, añadiendo un semicírculo de radio $R$ centrado en el origen. Esto tiene la ventaja de que el $n$ -polo de orden del integrando en $x=i\epsilon$ está encerrado en el interior del contorno cerrado. ¿Cambia el semicírculo el valor de la integral? No en el límite ya que $R \to \infty$ , ya que a medida que vamos "hacia arriba" en el plano complejo la función integrante "muere" bastante rápido. (El enunciado preciso de esto se llama El lema de Jordan .)

Por lo tanto, la integral se puede calcular en este caso ( $a \geq 0$ ) calculando el residuo en $i\epsilon$ multiplicándolo por $2\pi i$ y a continuación, el envío de $R \to \infty$ y $\epsilon \to 0$ . (Sólo importará el último límite).

Si $a < 0$ En cambio, es más conveniente cerrar el contorno en la dirección opuesta, porque ahora el integrando muere en el semiplano inferior. Pero como no hay polos por debajo de la recta real (el integrando es holomorfo en todas partes menos $z = i\epsilon$ ), integral $(*)$ desaparece.

Así, hemos comprobado que la integral $(*)$ no desaparece sólo cuando $n \geq 2k$ o $k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ . Esta es la razón por la que se puede truncar la suma en la respuesta original.

Answer 2

La observación clave aquí es la siguiente: si $z = a + ib$ con $a,b\in \Bbb R$ entonces $e^{itz} = e^{-tb+ita}$ y por lo tanto $|e^{itz}| = e^{-tb}$ , donde $t\in \Bbb R$ .

Para que la integración del contorno funcione, queremos que la integral en el arco circular desaparezca a medida que el radio llega al infinito, de modo que sólo quede la integral a lo largo de la recta real. Esto significa que

$$\left|\frac{e^{iz(n-2k)}}{z^n}\right|$$

debe acercarse $0$ a medida que el radio llega al infinito.

Si $t = n-2k\geqslant 0$ entonces la observación anterior garantiza que el arco semicircular en el semiplano superior hace el trabajo, porque en este caso $|e^{iz(n-2k)}|$ permanece acotado.

Si $t = n-2k<0$ entonces la situación se invierte, y debemos tomar el arco semicircular en el semiplano inferior para asegurar la acotación.

Answer 3

Si $z$ está en el semiplano superior, entonces $|e^{iz}|\leq 1$ . Esto es lo que nos permite controlar la integral de contorno como $R\to\infty$ .

En este caso, se quiere ligar $e^{iz(n-2k)},$ lo que significa que queremos $z(n-2k)$ para estar en el plano medio superior. Esto significa que $z$ debe estar en el plano medio superior si $n-2k\geq 0$ y $z$ debe estar en el plano medio inferior de lo contrario.

Es decir, los contornos serán semicírculos, pero dependen de $k$ . Es decir, si $2k\leq n$ entonces estará en el medio plano superior mientras que si $2k > n$ estará en el plano medio inferior.