Simulación de paseo aleatorio con predicción "conocida"

Question

Supongamos un paseo aleatorio que se parece un poco a esto

set.seed(420)
x=rnorm(1000)
y=rep(NA,length(x))
y[1]=x[1]
for (i in 2:length(x)) {
  y[i]=y[i-1]+x[i]*0.7
}

Pero no es un paseo aleatorio real como ese, y es algo que es muy difícil de predecir (piense en el clima). los primeros 700 puntos son datos reales, los otros 300 son predicciones.

Se supone que las predicciones son "verdaderas" de media deben seguir el camino indicado. Sin embargo, sospechamos que la trayectoria será mucho más variable de lo previsto, habrá subintervalos de valores más altos y/o más bajos, no deberían saltar hacia arriba o hacia abajo con demasiada fuerza.

Cómo podemos simular algunos paseos aleatorios, que oscilarán alrededor de las predicciones (teniendo una especie de media similar) pero con una variabilidad arbitraria. Sospechamos que habrá subintervalos con mayor correlación y por lo tanto aquí tardará más en volver a la media. Esto para tener una mejor idea de los posibles caminos / escenarios durante este tiempo.

Answer 1

Empecé por acortar su serie a 20 realizaciones, para que pudiéramos ver algo.

set.seed(420)
x=rnorm(20)
y=rep(NA,length(x))
y[1]=x[1]
for (i in 2:length(x)) y[i]=y[i-1]+x[i]*0.7

A continuación, he simulado cinco trayectorias (cada una de ellas con una longitud de seis). En primer lugar, extraigo 5 variables aleatorias normales con media 'y[15] . Then I draw another 5 normal random variables with mean y[16]`. Y así sucesivamente. Finalmente, conecto el primer conjunto, el segundo conjunto, hasta el quinto conjunto.

pred_index <- 15:20
n_sims <- 5
sd <- 0.2
sims <- sapply(y[pred_index],FUN=function(yy)rnorm(n_sims,mean=yy,sd=sd))

Esto nos da cinco trayectorias.

plot(y,type="l",lwd=2,ylim=range(c(y,sims)))
for ( jj in 1:n_sims ) lines(pred_index,sims[jj,],col="green")
lines(pred_index,y[pred_index],col="red",lwd=2)

Aquí están las simulaciones, con la última observación "real" en la primera columna:

> (foo <- cbind(y[pred_index[1]-1],sims))
          [,1]      [,2]      [,3]      [,4]      [,5]       [,6]       [,7]
[1,] -1.774497 -2.058771 -2.171860 -1.740961 -1.394201 -0.9514782 -1.6126567
[2,] -1.774497 -2.088186 -2.445334 -1.939621 -1.490676 -1.1473929 -1.5795282
[3,] -1.774497 -1.896928 -1.802883 -2.045344 -1.271107 -0.9969500 -0.9606348
[4,] -1.774497 -2.139482 -2.332128 -1.934507 -1.615830 -1.0684256 -1.1898377
[5,] -1.774497 -2.027070 -2.412320 -1.589246 -1.945217 -1.4398321 -1.1173766

Como se supone que se trata de un paseo aleatorio, podemos observar los incrementos por pasos dentro de cada simulación, simplemente tomando las diferencias sucesivas entre las columnas de esta matriz:

> sapply(1:ncol(sims),FUN=function(jj)foo[,jj+1]-foo[,jj])
           [,1]        [,2]       [,3]       [,4]      [,5]        [,6]
[1,] -0.2842738 -0.11308883  0.4308988  0.3467603 0.4427225 -0.66117845
[2,] -0.3136891 -0.35714748  0.5057129  0.4489450 0.3432831 -0.43213534
[3,] -0.1224306  0.09404472 -0.2424613  0.7742371 0.2741574  0.03631521
[4,] -0.3649842 -0.19264672  0.3976211  0.3186768 0.5474049 -0.12141211
[5,] -0.2525731 -0.38524925  0.8230736 -0.3559711 0.5053851  0.32245545

Answer 2

La especificación del tipo de datos que se quiere generar es muy amplia, y hay muchas formas de simular una especie de paseos aleatorios con trayectorias que tienen tendencia a "volver a la media".

Por ejemplo, puedes cambiar tu código como:

set.seed(420)
a = 0.9
b = 0.7
n = 10^4
x=rnorm(n)
y=rep(NA,n)
y[1]=x[1]
for (i in 2:n) {
  y[i]=a*y[i-1]+b*x[i]
}

Que es un paseo aleatorio amortiguado.

pregunta relacionada (y posiblemente duplicada): Creación de valores aleatorios autocorrelacionados en R

más tipos de paseos aleatorios similares: https://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive-moving-average_model

Answer 3

Un proceso de paseo aleatorio como el que estás utilizando tiene una deriva y una varianza constantes (o nulas): $$dW_t=\xi_t,\\\xi_t\sim \mathcal N(0,\sigma^2)$$

Usted quiere "variabilidad arbitraria", es decir $\sigma^2$ no sólo cambia con el tiempo, sino que también en algunos arbitrario manera, lo que sea que quieras decir con esta palabra. Si te referías a que es estocástico, impredecible, entonces tal vez tengas que mirar varianza estocástica procesos en los que $\sigma^2_t$ es un proceso aleatorio en sí mismo. Uno de estos modelos es Modelo Heston que es popular en la fijación de precios de los derivados en las finanzas.

Hay modelos más sencillos como GARCH . En GARCH la varianza no es estocástica en el sentido de que la varianza del siguiente paso está completamente determinada por la información hasta la fecha. Sin embargo, como se obtiene constantemente nueva información, la varianza futura se actualiza en cada paso. Así que la varianza también es arbitrario aunque en un sentido más restringido en comparación con el proceso de volatilidad estocástica como Heston.