No lo hace $x^3+2y^3+3z^3=0$ dar una superficie en $R^3$ ?

Question

En mi último examen de Cálculo Avanzado (siguiendo el Cálculo sobre Múltiples de Spivak), no pude resolver la siguiente pregunta.

Verdadero o falso: el conjunto $S$ en $R^3$ dado por $x^3+2y^3+3z^3=0$ es una superficie.

Gracias de antemano por cualquier idea.

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Lo que sé: $S$ menos $0$ es una superficie, porque es la imagen inversa de un valor regular; entonces $0$ es el único problema posible. Ahora bien, existe una vecindad de cualquier punto de una superficie que es la gráfica de una función diferenciable en dos variables. Además, las funciones $-(1/3)(x^3+2y^3)^{1/3}$ , $-(1/2)(x^3+3y^3)^{1/3}$ y $-(2y^3+3z^3)^{1/3}$ no son diferenciables en $(0,0)$ .

Así que, ahora mismo, mi opinión es: falso.

Answer 1

Es cierto que $S$ no es una superficie lisa en $\mathbb{R}^3$ . He aquí un esbozo de prueba.

Lema 1 : $S$ es una superficie si $T = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^3 + y^3 + z^3 =0 \}$ es una superficie.

Idea de prueba : Considere $f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ con $f(x,y,z) = (x, \sqrt[3]{2}y, \sqrt[3]{3}z)$ . Entonces $f$ es un difeomorfismo, y por tanto mapea superficies a superficies. Pero $f(S) = T$ y $f^{-1}(T) = S$ .

Tenga en cuenta también que $f(0,0,0) = (0,0,0)$ Así que $(0,0,0)$ es el único punto malo potencial de $T$ .

Lema 2 : Si $(x,y,z)\in T$ y $\lambda\in\mathbb{R}$ entonces $\lambda(x,y,z)\in T$ .

Prueba : omitido

Lema 3 : Supongamos que una superficie contiene una línea recta $\ell$ . Entonces, para cualquier $p\in \ell$ el plano tangente a la superficie en $p$ contiene $\ell$ .

Prueba : Una forma de construir el plano tangente es elegir dos curvas en tu superficie que pasen por el punto, y luego tomar sus derivadas en el punto. Sólo asegúrate de elegir $\ell$ como una de sus curvas.

Lema 4 : $T$ contiene (al menos) tres líneas $\ell_1, \ell_2, \ell_3$ a través del origen que no están contenidos en ningún plano. Por lo tanto, $T$ no puede tener un plano tangente en el origen, por lo que $T$ no es una superficie.

Prueba : Los puntos $p_1 = (1,-1,0)$ , $p_2 =(1,0,-1)$ y $p_3 = (1,1,-\sqrt[3]{2})$ están todos en $T$ . Por el lema 2, también lo son las líneas $\ell_i = p_i\cdot t$ . Sus derivados son $p_1, p_2,$ y $p_3$ , considerados como vectores. Estos tres vectores son claramente independientes. Más concretamente, se puede comprobar fácilmente que $\ell_3$ es no contenida en el plano (único) hecho por $\ell_1$ y $\ell_2$ . Por ejemplo, se puede calcular el producto cruzado de $p_1$ y $p_2$ (es decir, el vector normal del plano que contiene $\ell_1$ y $\ell_2$ ) y verificar que $p_3$ no es perpendicular a este producto cruzado.