Si $f$ divide $g$ en $S[x]$ , demuestran que $f$ divide $g$ en $R[x]$ para $R$ un sub-anillo de $S$ .

Question

Dejemos que $R$ sea un sub-anillo de un anillo $S$ . Dejemos que $f,g$ sean polinomios no nulos en $R[x]$ y asumir que el coeficiente principal de $f$ es una unidad en $R$ . Si $f$ divide $g$ en $S[x]$ , demuestran que $f$ divide $g$ en $R[x]$ .

Pensamientos: Si $f$ divide $g$ en $S[x]$ entonces $g(x) = f(x)q(x)$ para algunos $q(x)$ en $S[x]$ . A partir de aquí no estoy seguro de lo que la pregunta plantea. ¿Tengo que demostrar que $q(x)$ es un elemento de $R[x]$ ? Se agradece la información.

Answer 1

Sugerencia $ $ La división (euclidiana) con resto funciona porque el coef principal es una unidad, y el cociente y el resto son único (misma prueba que cuando el anillo de coef es un campo).

Por lo tanto, por la unicidad, el resto de la división en el subring $R$ es el mismo que en $S$ es decir $0$ .

Nota: $ $ Resultados como éste también pueden derivarse de forma más general de la persistencia de los gcds, por ejemplo ver aquí .

O directamente $ g = f q = (u x^i\! +\! f')(s x^j\! +\! q') = us\, x^{i+j}\!+\cdots \in\! R[x]\,$ así que $\,us\! =\! r\in R$ así que $\,s = r/u\in R$ . Así, $\, fq' = g - sx^kf\in R[x]\, $ y $\,\deg q' < \deg q\,$ así que por inducción $\,q'\in R[x]\,$ así que $\,q\in R[x]$

Answer 2

Bueno, como he mencionado en los comentarios y Bill Dubuque lo ha explicado bien en su respuesta, puedes utilizar el algoritmo de la división euclidiana. Ten en cuenta que para que el algoritmo de la división euclidiana funcione, lo único que necesitas es saber que el coeficiente principal del divisor es una unidad. Para ver esto, intenta dividir un polinomio $g(x)$ por otro polinomio $f(x)$ de grado inferior y verás que siempre puedes anular el término de mayor grado en $g(x)$ cuando el coeficiente principal de $f(x)$ es una unidad.

Para comprender mejor y ver lo que puede fallar cuando el coeficiente principal no es una unidad, intente dividir $3x^2+1$ por $2x-1$ en $\mathbb{Z}$ . Inmediatamente verá que no puede deshacerse de $3x^2$ porque $2 \not\mid 3$ .

Sin embargo, como en este problema su coeficiente principal es una unidad, puede suponer que $f(x)$ es un polinomio mónico. Como $1$ divide cualquier cosa en el anillo, no puede surgir ese problema.

Adenda: sin utilizar la unicidad del divisor y los polinomios del resto, podemos argumentar lo siguiente:

Supongamos que $g(x)=f(x)k(x)+r(x)$ en $R[x]$ . Desde $R[x] \subseteq S[x]$ la misma ecuación es válida en $S[x]$ . Por otro lado, usted había asumido que $g(x)=f(x)q(x)$ en $S[x]$ por lo que obtenemos que $f(x)q(x)=f(x)k(x)+r(x)$ . Por lo tanto, $f(x)\big( q(x) -k(x) \big) = r(x)$ .

Dado que el coeficiente principal de $f(x)$ es $1$ y $1$ nunca es un divisor de cero, a menos que $q(x)-k(x) = 0$ tenemos $\deg r(x) \geq \deg f(x)$ que es una contradicción. Así que, $q(x)-k(x)=0$ y por lo tanto, $r(x)=0$ .

Gracias a Bill Dubuque por señalar que $f \mid r$ todavía implica $\deg r \geq \deg f$ porque $f$ es mónico.