No puedo demostrar la siguiente afirmación.
¿Cualquier curva cúbica no-singular $C \subset \mathbb{P}^2$ sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$ tener un flexo sobre $\mathbb{F}_{q^3}$ ?
¿Existe una prueba elegante (es decir, sin la fuerza bruta completa de las posibles acciones de Frobenius en el Configuración de Hesse de 9 flexiones de $C$ ) o al menos una referencia a alguna fuente?
Gracias de antemano.
La pregunta enlazada en los comentarios proporciona una estrategia razonable. Supongamos que tenemos una cúbica suave sobre $\Bbb F_q$ dada por la ecuación $f(X,Y,Z)=0$ . Si podemos poner la curva en forma de Weierstrass $Y^2Z+a_1XYZ+a_3YZ^2 = X^3+a_2X^2Z+a_4XZ^2+a_6Z^3$ en $\Bbb F_{q^3}$ entonces habremos terminado: si tenemos tal forma de Weierstrass para nuestra curva, entonces el punto $[0:1:0]$ está en nuestra curva, y la línea tangente viene dada por $Z$ que interseca nuestra cúbica con multiplicidad 3 en $[0:1:0]$ , dando una flexión.
Lema . Dada cualquier cúbica homogénea definida sobre $\Bbb F_q$ podemos poner la cúbica en forma de Weierstrass sobre $\Bbb F_{q^3}$ mediante un cambio proyectivo de coordenadas.
Prueba : Por un argumento estándar, cualquier cúbica suave con un $K$ -puede ponerse en una forma de Weierstrass sobre $K$ mediante un cambio proyectivo de coordenadas ( aquí o cualquier libro de curvas elípticas). Afirmamos que una cúbica suave definida sobre $\Bbb F_q$ siempre tiene un punto racional sobre $\Bbb F_{q^3}$ que mostrará la reclamación.
Intersección de nuestra cúbica $C$ con cualquier $\Bbb F_q$ -línea racional (por ejemplo, el $Z$ -eje). Por Bezout, esta intersección es de grado tres sobre $\Bbb F_q$ . Por lo tanto, o bien contiene un $\Bbb F_q$ -o contiene un punto definido sobre una extensión cúbica de $\Bbb F_q$ . Pero $\Bbb F_q$ sólo tiene una extensión cúbica (hasta el isomorfismo): $\Bbb F_{q^3}$ . Así que $C$ tiene un punto racional sobre $\Bbb F_{q^3}$ y hemos terminado. $\blacksquare$
También se puede ensuciar las manos con la ecuación de la curva: ahí será obvio que se necesita acceder a $\Bbb F_{q^3}$ -(y ninguna otra extensión) para realizar los cambios de coordenadas pertinentes. Se trata de una técnica muy poco avanzada, que tiene sus ventajas y sus inconvenientes.
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