La secuencia de radicales anidados $\sqrt {a+\sqrt{a+\sqrt{a+...}}}$ se define por
$$x_1=\sqrt a, \quad x_{n+1}=\sqrt{a+x_n} \quad \text{ where } a>0$$
Aquí hay tres preguntas:
(a) Demostrar que $x=\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$ .
(b) Prueba $\displaystyle x-x_n\sim \frac{C_a}{(2x)^n}$ para algunos $C_a>0.$
(c) Para $a=2$ ¿Cuál es el valor de $C_2$ en (b) ?
Mi intento:
(a) es fácil. Es fácil demostrar $\{x_n\}$ es monótona y acotada, por lo que $x=\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n$ existe. Entonces tenemos la ecuación $x^2-x-a=0$ .
Para (b) empiezo escribiendo:
\begin {align} x-x_n &= \frac {x^2-x_n^2}{x+x_n} \\ &= \frac {(x+a)-(x_{n-1}+a)}{x+x_n} \\ &= \frac {x-x_{n-1}}{x+x_n} \end {align}
Por inducción,
$$x-x_n= \frac{x}{\prod_{k=1}^n (x+x_k)}$$
y me quedé atascado en este paso.
Para (c) Una vez que probamos $\displaystyle x_n=2\cos\left(\frac{\pi}{2^{n+1}}\right)$ No es difícil ver la constante $C_2$ es igual a $\displaystyle \frac{\pi^2}{4}$ . Este es un ejemplo estándar de sustitución trigonométrica.
Alguna idea sobre cómo abordar (b) ?
Notación: $f(n)\sim g(n)$ si y sólo si $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{f(n)}{g(n)}=1$ .
