Ayuda con un problema relacionado con las propiedades de las derivadas direccionales

Question

Mi pregunta es sobre las propiedades de las derivadas direccionales. Me encontré con este problema al leer este una página sobre la academia Khan. Dice que si $v^{\to}=\hat{\textbf{i}}+\hat{\textbf{j}}$ entonces $\nabla_{v^{\to}}f=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}$ lo que implica, en mi opinión, que $\nabla_{v^{\to}}f=\nabla_{\hat{\textbf{i}}}f+\nabla_{\hat{\textbf{j}}}f$ .

Mi pregunta es si siempre es cierto que $\nabla_{a^{\to}+b^{\to}}f=\nabla_{a^{\to}}f+\nabla_{b^{\to}}f$ ¿Y puedes probarlo?

Answer 1

Sí, la linealidad de la derivada direccional siempre se cumple (siempre que su función sea diferenciable - que es mucho más fuerte que tener todas las derivadas direccionales ) y se puede demostrar: véase la respuesta aquí .