Derivada no negativa de una función acotada

Question

Dejemos que $V\in C^1$ y $\dot{V} = k(t)\geq 0$ . Cómo demostrar que $V\leq m$ implica $k(t)\to 0$ con $t\to\infty$ ? Supongo que es simple, pero no puedo derivar un argumento para ello.

Esta pregunta está motivada por la discusión de Kushner en "Estabilidad y control estocástico", en la página 34. Allí discute las propiedades de una función de Lyapunov (determinista) y afirma que si $$ \dot{x} = f(x) $$ y $\nabla V\cdot f\leq 0$ para una función no negativa $V$ en el conjunto acotado $Q_m:=\{x\mid V(x)<m\}$ entonces $x_t\to \{x\mid k(x) = 0\}$ .

Answer 1

La función $V$ puede tener una colección infinita de intervalos muy pequeños en los que su derivada está acotada lejos de $0$ . Es fácil construir un contraejemplo si la suma de sus longitudes es finita.

Answer 2

Creo recordar que ya hubo preguntas similares aquí. Por contraposición: Si k(t) está acotado lejos de 0, es decir, k(t)> r, entonces, usando la MVT, en cada intervalo (a,b), $\frac {f(b)-f(a)}{b-a}>r(b-a)>>0$ Ahora aplique esto a un intervalo (b,c), luego a un intervalo (c,d) , etc. y si lo hace lo suficientemente largo, sus valores f pueden llegar a ser indefinidamente grandes, es decir, ilimitados.

Supongo que esto sería más riguroso: podemos construir una colección de intervalos $(a_1,a_2),(a_2,a_3),...,(a_k,a_{k+1}),.....$ y aplicando el MVT en cada intervalo:

$\frac {f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}>r(a_2-a_1); \frac{f(a_3)-f(a_2)}{a_3-a_2}>r(a_3-a_2))$ para que $f(a_3)-f(a_1)>r(a_3-a_1)$ para que tengas un telescopio*, y $\frac {f(a_n)-f(a_{n-1})}{a_n-a_{n-1}}>r(a_n-a_1)$ . A continuación, elija $(a_n-a_1)>\frac{2M}{r}$ y puede ver que su función se va a $\infty $

EDIT: Claramente trabajé bajo la suposición de que la condición dada era que f'(x) está acotada lejos de 0 como $x\rightarrow \infty$ . Al igual que la respuesta anterior, necesitamos que f esté acotada lejos de 0 fuera de un intervalo de longitud finita para que se cumpla el argumento anterior. Uno de estos días leeré la pregunta, lo prometo.

*Siempre me he preguntado de dónde viene el nombre "telescopio".