Mostrar que la cuenca de atracción sólo tiene un componente conectado

Question

L.S.,

Esta es una pregunta de tarea que me resulta difícil de responder, ¡cualquier ayuda/sugerencia sería muy apreciada!

Tengo que demostrar que todo polinomio complejo de grado 2 con un punto fijo atrayente tiene una cuenca de atracción en el plano complejo que tiene una sola componente conexa.

Mis pensamientos:

Un solo componente conectado significa que toda la cuenca está conectada, así que tal vez pueda encontrar una contradicción afirmando primero que hay abiertos $U$ y $V$ en $A$ que son disjuntos y que juntos conforman $A$ ?

$|f'(z)| < 1$ porque $f$ holomorf.

$A_0$ = $A$ .

Hay un punto crítico en $A_0$ (donde $f'(z_{cr}) = 0)$

Pero no sé cómo poner en práctica estos datos.

Muchas gracias

Answer 1

Sugerencia

Dejemos que $A$ sea la cuenca de atracción del punto fijo, y sea $A_0\subseteq A$ sea la cuenca inmediata. Sabemos que $A = \bigcup_{n\geq 0} f^{-n}(A_0)$ por lo que basta con demostrar que $f^{-1}(A_0) = A_0$ . Para demostrarlo, considere las siguientes preguntas:

1. Para cualquier punto $x\in A_0$ ¿cuántas preimágenes tiene $x$ tienen bajo el polinomio $f$ ?
2. El mapa $f\colon A_0\to A_0$ es un mapa de cobertura ramificado. ¿Cuál es su grado? Aquí es donde se puede saber que el punto crítico está contenido en $A_0$ .

Espero que esto ayude.