encontrar la derivada de $e^{3\sqrt{x}}$ utilizando la regla de la cadena.

Question

Se me pide que encuentre la derivada de esta función utilizando la regla de la cadena.
$$e^{3\sqrt{x}}$$

aquí están mis pasos.

paso 1 - identificar las funciones internas y externas. por lo tanto, identifiqué la función externa como $e^x$ función interna como $3\sqrt{x}$

paso 2- he utilizado la derivada de la función exterior con respecto a la interior veces la derivada de la función interior. así que la respuesta como yo lo veo debe ser $$e(3\sqrt{x})\left(\frac{3}{2}x^{-1/2}\right) $$

sin embargo la respuesta es $$e^{3\sqrt{x}}\left(\frac{3}{2}x^{-1/2}\right)$$

¿qué me falta? Sé que el derivado de $e^x = e^x$ ¿es ahí donde me estoy equivocando? Gracias de antemano por cualquier aclaración que podáis ofrecer. Miguel

Answer 1

Tenga en cuenta que $\displaystyle \frac d {dx}e^x=e^x$ no $ex$ .

Answer 2

Para la función exponencial, $$\frac{d}{dx}\left(e^{f(x)}\right) = e^{f(x)}f'(x).$$

Aquí, $e^{f(x)} = e^{3\sqrt x}$ Así que $f(x) = 3\sqrt x = 3x^{1/2}$ . Entonces debemos tener $$\frac{d}{dx}\left(e^{3\sqrt{x}}\right) = e^{3\sqrt{x}}\left(\frac{3}{2}x^{-1/2}\right) = \frac{3e^{3\sqrt x}}{2\sqrt x}$$

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Según los comentarios: Sí, $e^x$ es único en comparación con $x^n$ La primera es una constante muy distinguida elevada a una potencia variable, mientras que la segunda es una variable elevada a una constante. Así que la regla de la potencia no se aplica a $e^x$ ni se aplica a ninguna constante elevada a variable. Y con la constante única $e$ : retirada del mercado, $\;\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ .

Answer 3

Una forma ligeramente diferente de hacerlo registrando ambos lados (aquí $L(\cdot)=\log(\cdot))$ : $$ f(x) =e^{3 \sqrt{x}}\\ L(f(x))=3 \sqrt{x}\\ \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{3}{2 \sqrt{x}}\\ f'(x)=f(x)\frac{3}{2 \sqrt{x}}= \frac{3}{2 \sqrt{x}} e^{3 \sqrt{x}} $$ Esto se debe a $(\log f(x))'_{x}=\frac{f'(x)}{f(x)}$