Definición de ecualizador para $\textbf{Sh}(X)$

Question

Dejemos que $\textbf{Sh}(X)$ denota la categoría de todas las láminas (valoradas por el conjunto) sobre un espacio topológico $X$ .

Mi pregunta es: Dadas las láminas $F,G \in \textbf{Sh}(X)$ y morfismos $\varphi : F \to G$ y $\psi : F\to G$ ¿existe una definición en la literatura para el ecualizador de $\varphi$ y $\psi$ ? He mirado en el libro de Mac Lane y he buscado en el proyecto stacks pero no he encontrado nada. ¿Podemos definirlo como la gavilla $E$ tal que para cualquier $W \subseteq X$ abierto,

$$E(W) \to F(W) \begin{array}{c} \longrightarrow \\ \longrightarrow \end{array} G(W) $$

¿es un ecualizador?

Answer 1

El functor de sheafificación $a : PSh(X) \to Sh(X)$ se deja exacto (lo que significa que preserva los límites finos). Su adjunto derecho es la inclusión $i: Sh(X) \to PSh(X)$ de la categoría de láminas en la categoría de láminas

Siendo un adjunto derecho, $i$ conserva todo límites. Esto significa que si $E$ es el ecualizador de dos flechas $f$ y $g$ en $Sh(X)$ entonces $i(E)$ es el ecualizador de $i(f)$ y $i(g)$ en $PSh(X)$ .

En $PSh(X)$ los límites y colímites se calculan puntualmente; es decir, si $X$ es el (co)límite de $X_j$ entonces $X(U)$ es el (co)límite de $X_j(U)$

Así que estos hechos juntos nos dicen cómo calcular ecualizadores, o cualquier límite de gavillas.

Los colímetros son un poco más difíciles; $a$ siendo un adjunto a la izquierda, preserva todos los colímetros. Así que podemos calcular los colímites tomando los colímites puntuales, y luego sheafificando:

$$ \text{colim } X_j \cong \text{colim } ai(X_j) \cong a\left( \text{colim } i(X_j) \right) $$