Simplificar la suma

Question

Cómo

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2k-2}}{(2k-1)^{2m}}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2k-1}}{(2k)^{2m}}$$

puede reescribirse como

$$\sum_{k=1}^{\infty}(k)^{-2m}-2\sum_{k=1}^{\infty}(2k)^{-2m}$$ ???

Sólo pude hacer la primera línea:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2k-2}}{(2k-1)^{2m}}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{2k-1}}{(2k)^{2m}}$$

$$=\sum_{k=1}^{\infty}(2k-1)^{-2m}-\sum_{k=1}^{\infty}(2k)^{-2m}$$

Answer 1

La diferencia entre las dos sumas es $$\sum_{k=1}^\infty k^{-2m}-\sum_{k=1}^\infty (2k)^{-2m}-\sum_{k=1}^\infty (2k-1)^{-2m}.$$

Esto es cero, ya que $$\sum_{k=1}^\infty (2k)^{-2m}+\sum_{k=1}^\infty (2k-1)^{-2m}=\sum_{k=1}^\infty k^{-2m}.$$ Es el truco de los "términos pares" y los "términos Impares", pero en la otra dirección.