Estoy buscando una referencia para los siguientes hechos en el análisis funcional y la topología. (Si estos "hechos" no son verdaderos, supongo que estoy buscando la aproximación más cercana que sea verdadera).
Dejemos que $X$ sea un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto. Sea $C(X)$ denotan el anillo de funciones continuas de valor complejo sobre $X$ dotado de la topología compacta-abierta. Entonces $C(X)$ es un espacio vectorial topológico (complejo) completo localmente convexo (esto se puede encontrar en Kothe, vol. 2, creo).
Ahora dejemos que $Y$ sea otro espacio topológico de Hausdorff localmente compacto. Por Kothe, vol. 2, sé que $C(X \times Y)$ es naturalmente isomorfo a $C(X) \hat \otimes C(Y)$ , donde $\hat \otimes$ denota la terminación con respecto a la topología del producto tensorial inyectivo.
Creo que la multiplicación puntual $C(X) \times C(X) \rightarrow C(X)$ extiende (únicamente) a un mapa lineal continuo de $C(X) \hat \otimes C(X)$ a $C(X)$ .
Si $f: X \rightarrow Y$ es una función continua, entonces la precomposición con $f$ produce un continuo $C$ -homomorfismo de álgebra $f^\ast: C(Y) \rightarrow C(X)$ .
Creo que lo siguiente es cierto:
Teorema: Para todo homomorfismo de álgebra continua $\phi: C(Y) \rightarrow C(X)$ existe un único mapa continuo $f: X \rightarrow Y$ tal que $\phi = f^\ast$ .
En otras palabras, me gustaría que $C( \bullet )$ es un functor fiel de la categoría de espacios de Hausdorff localmente compactos y mapas continuos a la categoría de anillos en la (monoidal simétrica bajo $\hat \otimes$ ) de espacios vectoriales topológicos completos localmente convexos y mapas lineales continuos.
Cualquier referencia y/o corrección será muy bien recibida.
Pero una nota importante: soy no buscando modificaciones conocidas, como "probar el $C^\ast$ -álgebra en su lugar" o el álgebra de von Neumann, etc. Tengo buenas razones para considerar el anillo $C(X)$ con la topología compacta-abierta, y no quiero meterme con ella.
