¿Puede alguien darme una solución a la ecuación funcional $2f\left(\frac{x+y}{2}\right)+f\left(\frac{x-y}{2}\right)+f\left(\frac{y-x}{2}\right)=f(x)+f(y)$ ?
posiblemente una cuadrática, es decir, una solución $f$ con $f(ax)=a^2f(x)$ .
Gracias de antemano.
La solución general $f:V\to W$ , donde $V$ y $W$ son $\mathbb Q$ -de los espacios vectoriales, puede expresarse como $$f(x)=B(x,x)+L(x)\text{ for all $ x \in V $}$$ donde $B:V\times V\to W$ es un mapa bilineal y $L :V\to W$ es un mapa lineal . Se puede comprobar fácilmente que cualquier funcional de esta forma satisface la ecuación funcional.
Incluso si sólo está interesado en $V=W=\mathbb R$ los números reales deben ser considerados como un $\mathbb Q$ -para obtener una solución general, ya que bajo el axioma de elección existen soluciones de Ecuación funcional de Cauchy que no son $\mathbb R$ -lineal.
Para mostrar que todas las soluciones tienen esta forma, el principal truco a utilizar es dividir en partes Impares y pares.
Definir $L(x)=(f(x)-f(-x))/2$ . Tomando la ecuación funcional aplicada a $(x,y)$ y restando la ecuación funcional aplicada a $(-x,-y)$ , da $$2L(\tfrac{x+y}2)=L(x)+L(y)\text{ for all $ x,y \in V $.}$$
Desde $L$ es una función impar sabemos que $L(0)=0$ tomando $y=0$ da $2L(x/2)=L(x)$ para todos $x\in V$ Así que, de hecho $L$ es aditivo. Un mapa aditivo entre $\mathbb Q$ -de los espacios vectoriales es lineal.
Definir $$Q(x)=(f(x)+f(-x))/2$$ $$B(x,y)=Q(\tfrac{x+y}2)-Q(\tfrac{x-y}2)$$
Tenga en cuenta que $f(0)=0$ (enchufe $x=y=0$ a la ecuación funcional), por lo que de hecho tenemos $f(x)=B(x,x)+L(x)$ .
Tomando la ecuación funcional aplicada a $(x,y)$ y añadiendo la ecuación funcional aplicada a $(-x,-y)$ , da $$2Q(\tfrac{x+y}2)+2Q(\tfrac{x-y}2)=Q(x)+Q(y)$$
Considere $x,y,z\in V$ . Tenemos $$ \begin{align*} &B(x,z)+B(y,z)\\ &=Q(\tfrac{x+z}2)-Q(\tfrac{x-z}2)+Q(\tfrac{y+z}2)-Q(\tfrac{y-z}2)\\ &=(Q(\tfrac{x+z}2)+Q(\tfrac{y+z}2))-(Q(\tfrac{x-z}2)+Q(\tfrac{y-z}2))\\ &=(2Q(\tfrac{x+y}2 + z)+2Q(\tfrac{x-y}2))-(2Q(\tfrac{x+y}2 - z)+2Q(\tfrac{x-y}2))\\ &=2Q(\tfrac{x+y}2 + z)-2Q(\tfrac{x+y}2 - z)\\ &=2B\left(\tfrac{x+y}2,z\right). \end{align*} $$
Tomando $x=0$ da $B(y,z)=2B(y/2,z)$ para todos $y\in V$ Así que, de hecho, tenemos $$B(x,z)+B(y,z)=B(x+y,z)\text{ for all $ x,y,z \in V $.}$$
Como en el caso de impar, esto demuestra que $B$ es lineal en el primer argumento, y simétricamente lineal en el segundo argumento, y por tanto bilineal.
Suponiendo una expansión en serie de potencias para $f(x)$ la solución más general es $f(x):=a_1 x+a_2 x^2$ donde $a_1$ y $a_2$ son constantes. La prueba supone que $f(x):=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +\dots$ y sustituyendo esta definición en la ecuación funcional resolvemos para $a_0=0$ y $a_n=0$ para $n>2\;$ . Sólo quedan los términos de grado 1 y 2.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
