Desigualdad de trazos para la diferencia de matrices definidas positivas

Question

Demostrar que para matrices definidas positivas $A$ y $B$ donde $A - B$ también es positiva definida, demuestre $$2Tr((A-B)^{1/2}) + Tr(A^{-1/2}B) \leq 2Tr(A^{1/2})$$

---

Mi intento hasta ahora: Sabemos que $A - B$ positivo definido $\implies Tr(A - B) \geq 0 \implies Tr((A-B)^{1/2}(A-B)^{1/2}) \geq 0$

No estoy seguro de si estoy en el camino correcto, o dónde ir desde aquí. Cualquier dirección o solución sería apreciada.

Answer 1

Dejemos que $Y=B^{1/2},\,Z=(A-B)^{1/2}$ y $X=A^{1/2}=(Y^2+Z^2)^{1/2}$ . Entonces $X,Y,Z\succ0$ y \begin {alineado} & \operatorname {tr} \left (2A^{1/2}-2(A-B)^{1/2}-A^{-1/2}B \right ) \\ &= \operatorname {tr} \left (2X-2Z-X^{-1}Y^2 \right ) \\ &= \operatorname {tr} \left (2X-2Z-X^{-1}(X^2-Z^2) \right ) \\ &= \operatorname {tr} \left (X-2Z+X^{-1}Z^2 \right ) \\ &= \left\ |X^{1/2}-X^{-1/2}Z \right\ |_F^2 \ge0. \end {alineado}