Demostrar que los k-ciclos generan S_n para k par

Question

Demostrar que $k$ -ciclos generan $S_n$ para $k$ incluso, $k \leq n$ .

¿Cómo puedo probar esto? Sé que debería hacerlo por inducción. El $k=2$ caso es simple. Tengo problemas para pasar del paso inductivo al $k+2$ caso.

Estoy pensando que quiero mostrar algo como: $k$ -ciclos puede expresarse como un producto de $k+2$ -ciclos. Pero no sé cómo hacerlo.

Answer 1

Sabemos que $S_n$ es generado por el $2$ -ciclos. Si $k$ está en paz, $2\le k\le n,$ entonces un $2$ -ciclo puede expresarse como un producto de tres $k$ -ciclos de la siguiente manera: $$(1\ 2)=(1\ 3\ 2\ 4)(4\ 3\ 2\ 1)^2$$ $$(1\ 2)=(1\ 3\ 5\ 2\ 4\ 6)(6\ 5\ 4\ 3\ 2\ 1)^2$$ $$(1\ 2)=(1\ 3\ 5\ 7\ 2\ 4\ 6\ 8)(8\ 7\ 6\ 5\ 4\ 3\ 2\ 1)^2$$ y así sucesivamente.